एलजेब्रा उदाहरण

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 32 x^{2} - 53 x + 20$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 10, \pm 20$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = \frac{1}{2}$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{1}{16}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{1}{2 (8)} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.5

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1}{2^{3}} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.7

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{8} - 13 (\frac{1}{8}) + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.8

$- 13$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} + \frac{- 13}{8} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 32 {(\frac{1}{2})}^{2} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.10

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 32 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.11

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 32 \frac{1}{2^{2}} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.12

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 32 (\frac{1}{4}) - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.13

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.13.1

$32$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 4 (8) \frac{1}{4} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 4 \cdot 8 \frac{1}{4} - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 8 - 53 (\frac{1}{2}) + 20$

चरण 4.1.14

$- 53$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 8 + \frac{- 53}{2} + 20$

चरण 4.1.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 8 - \frac{53}{2} + 20$

चरण 4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$8 + 20 + \frac{1 - 13}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.2.2

$1$ में से $13$ घटाएं.

$8 + 20 + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.3

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$8$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{8}{1} + 20 + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.3.2

$\frac{8}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8} + 20 + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.3.3

$\frac{8}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{8 \cdot 8}{8} + 20 + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.3.4

$20$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{20}{1} + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.3.5

$\frac{20}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{20}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.3.6

$\frac{20}{1}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{20 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2}$

चरण 4.3.7

$\frac{- 53}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{20 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53}{2} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 4.3.8

$\frac{- 53}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{20 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

चरण 4.3.9

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{20 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{- 53 \cdot 4}{8}$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{8 \cdot 8 + 20 \cdot 8 - 12 - 53 \cdot 4}{8}$

चरण 4.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$8$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{64 + 20 \cdot 8 - 12 - 53 \cdot 4}{8}$

चरण 4.5.2

$20$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{64 + 160 - 12 - 53 \cdot 4}{8}$

चरण 4.5.3

$- 53$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{64 + 160 - 12 - 212}{8}$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$64$ और $160$ जोड़ें.

$\frac{224 - 12 - 212}{8}$

चरण 4.6.2

$224$ में से $12$ घटाएं.

$\frac{212 - 212}{8}$

चरण 4.6.3

$212$ में से $212$ घटाएं.

$\frac{0}{8}$

चरण 4.6.4

$0$ को $8$ से विभाजित करें.

$0$

चरण 5

चूंकि $\frac{1}{2}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - \frac{1}{2}$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 32 x^{2} - 53 x + 20}{x - \frac{1}{2}}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$

चरण 6.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$

	$2$

चरण 6.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 13)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$
	$2$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$
	$2$	$- 12$

चरण 6.5

परिणाम $(- 12)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(- 6)$ के परिणाम को भाज्य $(32)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$

चरण 6.6

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$	$26$

चरण 6.7

परिणाम $(26)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(13)$ के परिणाम को भाज्य $(- 53)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$	$- 6$	$13$
	$2$	$- 12$	$26$

चरण 6.8

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$	$- 6$	$13$
	$2$	$- 12$	$26$	$- 40$

चरण 6.9

परिणाम $(- 40)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(- 20)$ के परिणाम को भाज्य $(20)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$	$- 6$	$13$	$- 20$
	$2$	$- 12$	$26$	$- 40$

चरण 6.10

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$32$	$- 53$	$20$
		$1$	$- 6$	$13$	$- 20$
	$2$	$- 12$	$26$	$- 40$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 x^{3} + - 12 x^{2} + (26) x - 40$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 26 x - 40$

चरण 7

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 26 x - 40$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 26 x - 40)$

चरण 7.2

$- 12 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 26 x - 40)$

चरण 7.3

$26 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (13 x) - 40)$

चरण 7.4

$- 40$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (13 x) + 2 \cdot - 20)$

चरण 7.5

$2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (13 x) + 2 \cdot - 20)$

चरण 7.6

$2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (13 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 13 x) + 2 \cdot - 20)$

चरण 7.7

$2 (x^{3} - 6 x^{2} + 13 x) + 2 \cdot - 20$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20))$

चरण 8

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{4} - 13 x^{3} + 32 x^{2} - 53 x + 20$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 20, \pm 10, \pm 2, \pm 5, \pm 4, \pm 2.5$

चरण 8.1.3

$0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.5$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.3.1

$0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 \cdot {0.5}^{4} - 13 \cdot {0.5}^{3} + 32 \cdot {0.5}^{2} - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.2

$0.5$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{3} + 32 \cdot {0.5}^{2} - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.3

$2$ को $0.0625$ से गुणा करें.

$0.125 - 13 \cdot {0.5}^{3} + 32 \cdot {0.5}^{2} - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.4

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.125 - 13 \cdot 0.125 + 32 \cdot {0.5}^{2} - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.5

$- 13$ को $0.125$ से गुणा करें.

$0.125 - 1.625 + 32 \cdot {0.5}^{2} - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.6

$0.125$ में से $1.625$ घटाएं.

$- 1.5 + 32 \cdot {0.5}^{2} - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.7

$0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1.5 + 32 \cdot 0.25 - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.8

$32$ को $0.25$ से गुणा करें.

$- 1.5 + 8 - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.9

$- 1.5$ और $8$ जोड़ें.

$6.5 - 53 \cdot 0.5 + 20$

चरण 8.1.3.10

$- 53$ को $0.5$ से गुणा करें.

$6.5 - 26.5 + 20$

चरण 8.1.3.11

$6.5$ में से $26.5$ घटाएं.

$- 20 + 20$

चरण 8.1.3.12

$- 20$ और $20$ जोड़ें.

$0$

चरण 8.1.4

चूँकि $0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 32 x^{2} - 53 x + 20}{2 x - 1}$

चरण 8.1.5

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 32 x^{2} - 53 x + 20$ को $2 x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

चरण 8.1.5.2

भाज्य $2 x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

चरण 8.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

चरण 8.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{4} - x^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

चरण 8.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

चरण 8.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

चरण 8.1.5.7

भाज्य $- 12 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

चरण 8.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

चरण 8.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 12 x^{3} + 6 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

चरण 8.1.5.10

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

चरण 8.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

चरण 8.1.5.12

भाज्य $26 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

चरण 8.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

चरण 8.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $26 x^{2} - 13 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

चरण 8.1.5.15

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

$40 x$

चरण 8.1.5.16

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

$40 x$

$20$

चरण 8.1.5.17

भाज्य $- 40 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$20$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

$40 x$

$20$

चरण 8.1.5.18

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$20$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

$40 x$

$20$

$40 x$

$20$

चरण 8.1.5.19

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 40 x + 20$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$20$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

$40 x$

$20$

$40 x$

$20$

चरण 8.1.5.20

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$20$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$32 x^{2}$

$53 x$

$20$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$32 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$26 x^{2}$

$53 x$

$26 x^{2}$

$13 x$

$40 x$

$20$

$40 x$

$20$

$0$

चरण 8.1.5.21

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20$

चरण 8.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{4} - 13 x^{3} + 32 x^{2} - 53 x + 20$ लिखें.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20) = 0$

चरण 8.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

चरण 8.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

चरण 8.2.1.3

$4$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $4$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.3.1

$4$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + 13 \cdot 4 - 20$

चरण 8.2.1.3.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 6 \cdot 4^{2} + 13 \cdot 4 - 20$

चरण 8.2.1.3.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 6 \cdot 16 + 13 \cdot 4 - 20$

चरण 8.2.1.3.4

$- 6$ को $16$ से गुणा करें.

$64 - 96 + 13 \cdot 4 - 20$

चरण 8.2.1.3.5

$64$ में से $96$ घटाएं.

$- 32 + 13 \cdot 4 - 20$

चरण 8.2.1.3.6

$13$ को $4$ से गुणा करें.

$- 32 + 52 - 20$

चरण 8.2.1.3.7

$- 32$ और $52$ जोड़ें.

$20 - 20$

चरण 8.2.1.3.8

$20$ में से $20$ घटाएं.

$0$

चरण 8.2.1.4

चूँकि $4$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 4$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20}{x - 4}$

चरण 8.2.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20$ को $x - 4$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.5.1

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$13 x$

$20$

चरण 8.2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$

चरण 8.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

चरण 8.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 4 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

चरण 8.2.1.5.5

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

चरण 8.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$

चरण 8.2.1.5.7

भाज्य $- 2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$

चरण 8.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$8 x$

चरण 8.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x^{2} + 8 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$8 x$

चरण 8.2.1.5.10

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$5 x$

चरण 8.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$5 x$	-	$20$

चरण 8.2.1.5.12

भाज्य $5 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$5 x$	-	$20$

चरण 8.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

चरण 8.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x - 20$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

चरण 8.2.1.5.15

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$13 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

चरण 8.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 2 x + 5$

चरण 8.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 6 x^{2} + 13 x - 20$ लिखें.

$(2 x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 5)) = 0$

चरण 8.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(2 x - 1) (x - 4) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

चरण 9

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

चरण 10

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 1 = 0$

चरण 10.2

$x$ के लिए $2 x - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x = 1$

चरण 10.2.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 10.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 10.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 11

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 11.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 12

$x^{2} - 2 x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x^{2} - 2 x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

चरण 12.2

$x$ के लिए $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 12.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2$ और $c = 5$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.2.2

$- 4$ को $5$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.3

$4$ में से $20$ घटाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.4

$- 16$ को $- 1 (16)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

चरण 12.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

चरण 12.2.3.3

$\frac{2 \pm 4 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm 2 i$

चरण 12.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

चरण 13

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 x - 1) (x - 4) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{1}{2}, 4, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

चरण 14