एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = \sqrt{81 - x^{2}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{81 - x^{2}}$ को ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 81 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $81 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $81 - x^{2}$ से बदलें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{{(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

चरण 1.1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $81 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (81) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

चरण 1.1.9

चूंकि $x$ के संबंध में $81$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $81$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

चरण 1.1.10

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

चरण 1.1.11

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

चरण 1.1.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

चरण 1.1.13

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

चरण 1.1.13.2

$- 2$ और $\frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

चरण 1.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.13.4

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.14.1

$2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 1.1.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{- x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$- \frac{x}{\sqrt{{(81 - x^{2})}^{1}}}$

चरण 4.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$- \frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$

चरण 4.2

$\frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{81 - x^{2}} = 0$

चरण 4.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{81 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1

घातांक को ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(81 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.2

सरल करें.

$81 - x^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$81 - x^{2} = 0$

चरण 4.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $81$ घटाएं.

$- x^{2} = - 81$

चरण 4.3.3.2

$- x^{2} = - 81$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

$- x^{2} = - 81$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 81}{- 1}$

चरण 4.3.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 81}{- 1}$

चरण 4.3.3.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 81}{- 1}$

चरण 4.3.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.3.1

$- 81$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 81$

चरण 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

चरण 4.3.3.4

$\pm \sqrt{81}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.4.1

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

चरण 4.3.3.4.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 9$

चरण 4.3.3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 9$

चरण 4.3.3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 9$

चरण 4.3.3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 9, - 9$

चरण 4.4

रेडिकैंड को $\sqrt{81 - x^{2}}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$81 - x^{2} < 0$

चरण 4.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

असमानता के दोनों पक्षों से $81$ घटाएं.

$- x^{2} < - 81$

चरण 4.5.2

$- x^{2} < - 81$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$- x^{2} < - 81$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 81}{- 1}$

चरण 4.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 81}{- 1}$

चरण 4.5.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} > \frac{- 81}{- 1}$

चरण 4.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.3.1

$- 81$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} > 81$

चरण 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{81}$

चरण 4.5.4

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | > \sqrt{81}$

चरण 4.5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.2.1

$\sqrt{81}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.2.1.1

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x | > \sqrt{9^{2}}$

चरण 4.5.4.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | > | 9 |$

चरण 4.5.4.2.1.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $9$ के बीच की दूरी $9$ है.

$| x | > 9$

चरण 4.5.5

$| x | > 9$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.5.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 4.5.5.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x > 9$

चरण 4.5.5.3

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 4.5.5.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x > 9$

चरण 4.5.5.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x > 9 & x \geq 0 \\ - x > 9 & x < 0 \end{cases}$

चरण 4.5.6

$x > 9$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$x > 9$

चरण 4.5.7

$- x > 9$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.7.1

$- x > 9$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{9}{- 1}$

चरण 4.5.7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.7.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} < \frac{9}{- 1}$

चरण 4.5.7.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x < \frac{9}{- 1}$

चरण 4.5.7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.7.3.1

$9$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x < - 9$

चरण 4.5.8

हलों का संघ ज्ञात करें.

$x < - 9$ या $x > 9$

चरण 4.6

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 9)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 10$ से बदलें.

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - {(- 10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

$- 10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.1.1.2

$- 1$ को $100$ से गुणा करें.

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.1.2

$81$ में से $100$ घटाएं.

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 10) = \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3

$x = - 10$ पर व्युत्पन्न $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 9)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 9)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 9, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{9}{2}$ से बदलें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- \frac{9}{2}}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{9}{2}$ पर लागू करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}))}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{9}{2}$ पर लागू करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.2

घातांक जोड़कर $- 1$ को ${(- 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.2.1

${(- 1)}^{2}$ ले जाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.2.2

${(- 1)}^{2}$ को $- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.2.2.1

$- 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{3} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.4

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.2

$81$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.3

$81$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.5.1

$81$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.5.2

$324$ में से $81$ घटाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.2.6

उत्पाद नियम को $\frac{243}{4}$ पर लागू करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}})$

चरण 7.2.2.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.7.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}})$

चरण 7.2.2.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

चरण 7.2.2.7.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.7.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

चरण 7.2.2.7.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

चरण 7.2.2.7.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

चरण 7.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot (1 (\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})))$

चरण 7.2.4

$\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.5.1

$- \frac{9}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- 9 \frac{1}{243^{\frac{1}{2}}})$

चरण 7.2.6

$- 9$ और $\frac{1}{243^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- 9}{243^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.8

अंतिम उत्तर $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.3

$x = - \frac{9}{2}$ पर व्युत्पन्न $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 9, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 9, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 9)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{9}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{\frac{9}{2}}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - (\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 8.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

जोड़ना.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \cdot 1}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2.2

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{9}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.1.2

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.2

$81$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.3

$81$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.5.1

$81$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.5.2

$324$ में से $81$ घटाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.3.6

उत्पाद नियम को $\frac{243}{4}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}})}$

चरण 8.2.3.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.7.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}})}$

चरण 8.2.3.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

चरण 8.2.3.7.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.7.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

चरण 8.2.3.7.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

चरण 8.2.3.7.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

चरण 8.2.4

$2$ और $\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

चरण 8.2.5

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

चरण 8.2.5.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{1}}$

चरण 8.2.5.2

$243^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.6

अंतिम उत्तर $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ है.

$- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.3

$x = \frac{9}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 9)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 9)$ पर घटता हुआ

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(9, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $10$ से बदलें.

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - {(10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.1

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.1.1.2

$- 1$ को $100$ से गुणा करें.

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.1.2

$81$ में से $100$ घटाएं.

$f' (10) = - \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.2

अंतिम उत्तर $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.3

$x = 10$ पर व्युत्पन्न $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(9, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(9, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 10

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 9, 0)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 9), (0, 9), (9, \infty)$

चरण 11