एलजेब्रा उदाहरण

$z = x^{y} + \ln (x y)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

चरण 2

$y$ के संबंध में $z$ का व्युत्पन्न $z'$ है.

$z'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{y} + \ln (x y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ $a^{y} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $x$ है.

$x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \ln (y)$ और $g (y) = x y$ है.

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चरण 3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 3.3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 3.3.2

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y])$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1)$

चरण 3.3.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x$

चरण 3.3.5

$\frac{1}{x y}$ और $x$ को मिलाएं.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y}$

चरण 3.3.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 3.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y}$

चरण 3.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$z' = x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y}$

चरण 5

$z'$ को $\frac{d z}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d z}{d y} = x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y}$