एलजेब्रा उदाहरण

$z = x^{y} + \ln (x y)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $z$ का व्युत्पन्न $z'$ है.

$z'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

अवकलन करें.

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चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{y} + \ln (x y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = y$ है.

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x y$ है.

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चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 3.2.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 3.2.2

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

चरण 3.2.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

चरण 3.2.5

$\frac{1}{x y}$ और $y$ को मिलाएं.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

चरण 3.2.6

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 3.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

चरण 3.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

चरण 3.3

सरल करें.

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चरण 3.3.1

पदों को मिलाएं.

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चरण 3.3.1.1

$y x^{y - 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

चरण 3.3.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

चरण 3.3.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

चरण 3.3.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

चरण 3.3.1.5

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

चरण 3.3.1.6

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

चरण 3.3.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

चरण 3.3.3

गुणनखंडों को $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

चरण 5

$z'$ को $\frac{d z}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$