एलजेब्रा उदाहरण

$z = x^{y} + \ln (x y)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

चरण 2

चूंकि $y$ के संबंध में $z$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $z$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{y} + \ln (x y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d y} [x^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

सामान्यीकृत घात नियम का उपयोग करके अंतर करें जिसमें कहा गया है कि $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ है जहां $f = x$ और $g = y$ हैं.

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

चरण 3.2.4

$x^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \ln (y)$ और $g (y) = x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 3.3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 3.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 3.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = x$ और $g (y) = y$ है.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

चरण 3.3.3

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

चरण 3.3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

चरण 3.3.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\frac{1}{x y}$ और $x$ को मिलाएं.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

चरण 3.4.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

चरण 3.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

चरण 3.4.2.3

$y$ और $\frac{1}{x y}$ को मिलाएं.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

चरण 3.4.2.4

$\frac{y}{x y}$ और $x'$ को मिलाएं.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

चरण 3.4.2.5

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

चरण 3.4.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.6

$x' (y x^{y - 1})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.8

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.9

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.12

$x^{y} \ln (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.14

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

चरण 3.4.2.15

$\frac{x'}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

चरण 3.4.2.16

प्रत्येक व्यंजक को $y x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.16.1

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

चरण 3.4.2.16.2

$\frac{x'}{x}$ को $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

चरण 3.4.2.16.3

$y x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

चरण 3.4.2.17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

चरण 3.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1.1

$x^{y}$ ले जाएं.

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.1.2

$x^{y}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{y - 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.2.1

$x^{y - 1}$ ले जाएं.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.2.2

$x^{y - 1}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.2.3

$y - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.2.3.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.2.3.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

चरण 3.4.4.2.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

चरण 3.4.5

गुणनखंडों को $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

चरण 5

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

चरण 5.2

$x'$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

गुणनखंडों को $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ में पुन: क्रमित करें.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

चरण 5.2.2

$x'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y x^{y + 1} \ln (x)$ घटाएं.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

चरण 5.2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

चरण 5.2.3

$y^{2} x' x^{y} + y x'$ में से $y x'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$y^{2} x' x^{y}$ में से $y x'$ का गुणनखंड करें.

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

चरण 5.2.3.2

$y x'$ में से $y x'$ का गुणनखंड करें.

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

चरण 5.2.3.3

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ में से $y x'$ का गुणनखंड करें.

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

चरण 5.2.4

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ के प्रत्येक पद को $y (y x^{y} + 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ के प्रत्येक पद को $y (y x^{y} + 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.2.2

$y x^{y} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.2.2.2

$x'$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.3.2

$- y x^{y + 1} \ln (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.3.3

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.3.4

$- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.3.5.1

$- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ को $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 5.2.4.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

चरण 6

$x'$ को $\frac{d x}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$