एलजेब्रा उदाहरण

$x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128, \pm 256, \pm 512$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128, \pm 256, \pm 512$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(2)}^{6} - 8 {(2)}^{5} + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 8 {(2)}^{5} + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.2

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 8 \cdot 32 + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.3

$- 8$ को $32$ से गुणा करें.

$64 - 256 + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.4

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 256 + 12 \cdot 16 + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.5

$12$ को $16$ से गुणा करें.

$64 - 256 + 192 + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.6

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 256 + 192 + 80 \cdot 8 - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.7

$80$ को $8$ से गुणा करें.

$64 - 256 + 192 + 640 - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.8

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 - 256 + 192 + 640 - 416 \cdot 4 + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.9

$- 416$ को $4$ से गुणा करें.

$64 - 256 + 192 + 640 - 1664 + 768 (2) - 512$

चरण 4.1.10

$768$ को $2$ से गुणा करें.

$64 - 256 + 192 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$64$ में से $256$ घटाएं.

$- 192 + 192 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

चरण 4.2.2

$- 192$ और $192$ जोड़ें.

$0 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

चरण 4.2.3

$0$ और $640$ जोड़ें.

$640 - 1664 + 1536 - 512$

चरण 4.2.4

$640$ में से $1664$ घटाएं.

$- 1024 + 1536 - 512$

चरण 4.2.5

$- 1024$ और $1536$ जोड़ें.

$512 - 512$

चरण 4.2.6

$512$ में से $512$ घटाएं.

$0$

चरण 5

चूंकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512}{x - 2}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(2)$ के परिणाम को भाज्य $(- 8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$
	$1$	$- 6$

चरण 6.5

परिणाम $(- 6)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(- 12)$ के परिणाम को भाज्य $(12)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$
	$1$	$- 6$

चरण 6.6

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$
	$1$	$- 6$	$0$

चरण 6.7

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(80)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$
	$1$	$- 6$	$0$

चरण 6.8

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$

चरण 6.9

परिणाम $(80)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(160)$ के परिणाम को भाज्य $(- 416)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$

चरण 6.10

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$

चरण 6.11

परिणाम $(- 256)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(- 512)$ के परिणाम को भाज्य $(768)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$

चरण 6.12

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$

चरण 6.13

परिणाम $(256)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(512)$ के परिणाम को भाज्य $(- 512)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$	$512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$

चरण 6.14

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$	$512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$	$0$

चरण 6.15

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{5} + - 6 x^{4} + 0 x^{3} + 80 x^{2} + (- 256) x + 256$

चरण 6.16

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{5} - 6 x^{4} + 80 x^{2} - 256 x + 256$

चरण 7

किसी भी शेष मूल को ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$x^{5} - 256 x - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.2

$x^{5} - 256 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} - 256 x - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.2.2

$- 256 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 256 - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.2.3

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 256$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} - 256) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} - 256) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.4

$256$ को $16^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} - 16^{2}) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.5

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x^{2}$ और $b = 16$ .

$x ((x^{2} + 16) (x^{2} - 16)) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.6

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.6.1.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ((x^{2} + 16) (x^{2} - 4^{2})) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.6.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.6.1.2.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 4$ .

$x ((x^{2} + 16) ((x + 4) (x - 4))) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.6.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x ((x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.6.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.7

$- 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.7.1

$- 6 x^{4}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 80 x^{2} + 256 = 0$

चरण 7.1.7.2

$80 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2}) + 256 = 0$

चरण 7.1.7.3

$256$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2}) + 2 (128) = 0$

चरण 7.1.7.4

$2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2}) + 2 (128) = 0$

चरण 7.1.7.5

$2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2}) + 2 (128)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2} + 128) = 0$

चरण 7.1.8

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 40 x^{2} + 128) = 0$

चरण 7.1.9

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + 40 u + 128) = 0$

चरण 7.1.10

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.10.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 3 \cdot 128 = - 384$ है और जिसका योग $b = 40$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.10.1.1

$40 u$ में से $40$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + 40 (u) + 128) = 0$

चरण 7.1.10.1.2

$40$ को $- 8$ जोड़ $48$ के रूप में फिर से लिखें

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + (- 8 + 48) u + 128) = 0$

चरण 7.1.10.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} - 8 u + 48 u + 128) = 0$

चरण 7.1.10.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.10.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 u^{2} - 8 u) + 48 u + 128) = 0$

चरण 7.1.10.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (u (- 3 u - 8) - 16 (- 3 u - 8)) = 0$

चरण 7.1.10.3

महत्तम समापवर्तक, $- 3 u - 8$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 u - 8) (u - 16)) = 0$

चरण 7.1.11

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x^{2} - 16)) = 0$

चरण 7.1.12

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

चरण 7.1.13

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.13.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.13.1.1

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

चरण 7.1.13.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)) = 0$

चरण 7.1.13.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4) = 0$

चरण 7.1.14

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)$ में से $(x + 4) (x - 4)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.14.1

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ में से $(x + 4) (x - 4)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4) = 0$

चरण 7.1.14.2

$2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)$ में से $(x + 4) (x - 4)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + (x + 4) (x - 4) (2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

चरण 7.1.14.3

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + (x + 4) (x - 4) (2 (- 3 x^{2} - 8))$ में से $(x + 4) (x - 4)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16) + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

चरण 7.1.15

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

चरण 7.1.16

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.16.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.16.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

चरण 7.1.16.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x + 4) (x - 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

चरण 7.1.16.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

चरण 7.1.17

$16$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

चरण 7.1.18

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 8) = 0$

चरण 7.1.19

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x - 6 x^{2} + 2 \cdot - 8) = 0$

चरण 7.1.20

$2$ को $- 8$ से गुणा करें.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x - 6 x^{2} - 16) = 0$

चरण 7.1.21

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16) = 0$

चरण 7.1.22

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.22.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.22.1.1

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 7.1.22.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

चरण 7.1.22.1.3

$2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.22.1.3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 16$

चरण 7.1.22.1.3.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 16$

चरण 7.1.22.1.3.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 - 6 \cdot 4 + 16 \cdot 2 - 16$

चरण 7.1.22.1.3.4

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$8 - 24 + 16 \cdot 2 - 16$

चरण 7.1.22.1.3.5

$8$ में से $24$ घटाएं.

$- 16 + 16 \cdot 2 - 16$

चरण 7.1.22.1.3.6

$16$ को $2$ से गुणा करें.

$- 16 + 32 - 16$

चरण 7.1.22.1.3.7

$- 16$ और $32$ जोड़ें.

$16 - 16$

चरण 7.1.22.1.3.8

$16$ में से $16$ घटाएं.

$0$

चरण 7.1.22.1.4

चूँकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16}{x - 2}$

चरण 7.1.22.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.22.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$16 x$

$16$

चरण 7.1.22.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$

चरण 7.1.22.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 7.1.22.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 7.1.22.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

चरण 7.1.22.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

चरण 7.1.22.1.5.7

भाज्य $- 4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

चरण 7.1.22.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

चरण 7.1.22.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x^{2} + 8 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

चरण 7.1.22.1.5.10

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$

चरण 7.1.22.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$

चरण 7.1.22.1.5.12

भाज्य $8 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$

चरण 7.1.22.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							+	$8 x$	-	$16$

चरण 7.1.22.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $8 x - 16$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	+	$16$

चरण 7.1.22.1.5.15

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	+	$16$
										$0$

चरण 7.1.22.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 4 x + 8$

चरण 7.1.22.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ लिखें.

$(x + 4) (x - 4) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 8)) = 0$

चरण 7.1.22.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 4) (x - 4) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$

चरण 7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

चरण 7.3

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 7.4

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 7.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 7.5

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 7.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 7.6

$x^{2} - 4 x + 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$x^{2} - 4 x + 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

चरण 7.6.2

$x$ के लिए $x^{2} - 4 x + 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.6.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 4$ और $c = 8$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.3.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.2.2

$- 4$ को $8$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.3

$16$ में से $32$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.4

$- 16$ को $- 1 (16)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

चरण 7.6.2.3.3

$\frac{4 \pm 4 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm 2 i$

चरण 7.6.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.4.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.2.2

$- 4$ को $8$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.3

$16$ में से $32$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.4

$- 16$ को $- 1 (16)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

चरण 7.6.2.4.3

$\frac{4 \pm 4 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm 2 i$

चरण 7.6.2.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 2 + 2 i$

चरण 7.6.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.5.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.2.2

$- 4$ को $8$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.3

$16$ में से $32$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.4

$- 16$ को $- 1 (16)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

चरण 7.6.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

चरण 7.6.2.5.3

$\frac{4 \pm 4 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm 2 i$

चरण 7.6.2.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 2 - 2 i$

चरण 7.6.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

चरण 7.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 4) (x - 4) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 4, 4, 2, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

चरण 8

बहुपद को रैखिक गुणनखंडों के सेट के रूप में लिखा जा सकता है.

$(x - 2) (x + 4) (x - 4) (x - 2 - 2 i) (x - 2 + 2 i)$

चरण 9

ये बहुपद $x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512$ के मूल (शून्य) हैं.

$x = 2, - 4, 4, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

चरण 10