ऊपरी और निम्न सीमायें ज्ञात कीजिये f(x)=2x^4+5x^3-5x-2

चरण 1

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

चरण 2

$\frac{2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2}{x - 1}$ पर $x = 1$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$

चरण 2.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$

	$2$

चरण 2.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(2)$ के परिणाम को भाज्य $(5)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$
	$2$

चरण 2.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$
	$2$	$7$

चरण 2.5

परिणाम $(7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(7)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$	$7$
	$2$	$7$

चरण 2.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$	$7$
	$2$	$7$	$7$

चरण 2.7

परिणाम $(7)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(7)$ के परिणाम को भाज्य $(- 5)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$	$7$	$7$
	$2$	$7$	$7$

चरण 2.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$	$7$	$7$
	$2$	$7$	$7$	$2$

चरण 2.9

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(2)$ के परिणाम को भाज्य $(- 2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$	$7$	$7$	$2$
	$2$	$7$	$7$	$2$

चरण 2.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$2$	$7$	$7$	$2$
	$2$	$7$	$7$	$2$	$0$

चरण 2.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 x^{3} + 7 x^{2} + (7) x + 2$

चरण 2.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x^{3} + 7 x^{2} + 7 x + 2$

चरण 3

चूंकि $1 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $1$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $1$

चरण 4

$\frac{2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2}{x - 2}$ पर $x = 2$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$

चरण 4.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$

	$2$

चरण 4.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(4)$ के परिणाम को भाज्य $(5)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$
	$2$

चरण 4.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$
	$2$	$9$

चरण 4.5

परिणाम $(9)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(18)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$	$18$
	$2$	$9$

चरण 4.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$	$18$
	$2$	$9$	$18$

चरण 4.7

परिणाम $(18)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(36)$ के परिणाम को भाज्य $(- 5)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$	$18$	$36$
	$2$	$9$	$18$

चरण 4.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$	$18$	$36$
	$2$	$9$	$18$	$31$

चरण 4.9

परिणाम $(31)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(62)$ के परिणाम को भाज्य $(- 2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$	$18$	$36$	$62$
	$2$	$9$	$18$	$31$

चरण 4.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$2$	$5$	$0$	$- 5$	$- 2$
		$4$	$18$	$36$	$62$
	$2$	$9$	$18$	$31$	$60$

चरण 4.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 x^{3} + 9 x^{2} + (18) x + 31 + \frac{60}{x - 2}$

चरण 4.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 18 x + 31 + \frac{60}{x - 2}$

चरण 5

चूंकि $2 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $2$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $2$

चरण 6

ऊपरी और निचली सीमाएँ निर्धारित करें.

उच्च परिबंध: $1, 2$

No Lower Bounds

चरण 7

एलजेब्रा उदाहरण