एलजेब्रा उदाहरण

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d u} (z) = \frac{d}{d u} ((u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}})$

चरण 2

$u$ के संबंध में $z$ का व्युत्पन्न $z'$ है.

$z'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ है, जहाँ $f (u) = u^{3} - {z'}^{3}$ और $g (u) = e^{u^{3} + {z'}^{3}}$ है.

$(u^{3} - {z'}^{3}) \frac{d}{d u} [e^{u^{3} + {z'}^{3}}] + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ $f' (g (u)) g' (u)$ है, जहाँ $f (u) = e^{u}$ और $g (u) = u^{3} + {z'}^{3}$ है.

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चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $u^{3} + {z'}^{3}$ के रूप में सेट करें.

$(u^{3} - {z'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $u^{3} + {z'}^{3}$ से बदलें.

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

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चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3} + {z'}^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]$ है.

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.3.3

चूंकि $u$ के संबंध में ${z'}^{3}$ स्थिर है, $u$ के संबंध में ${z'}^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.3.4

$3 u^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

चरण 3.3.5

योग नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3} - {z'}^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}]$ है.

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

चरण 3.3.6

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

चरण 3.3.7

चूंकि $u$ के संबंध में $- {z'}^{3}$ स्थिर है, $u$ के संबंध में $- {z'}^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0)$

चरण 3.3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.3.8.1

$3 u^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2})$

चरण 3.3.8.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} u^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

चरण 5.1.2

घातांक जोड़कर $u^{2}$ को $u^{3}$ से गुणा करें.

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चरण 5.1.2.1

$u^{3}$ ले जाएं.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} (u^{3} u^{2}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

चरण 5.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{3 + 2} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

चरण 5.1.2.3

$3$ और $2$ जोड़ें.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

चरण 5.1.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

चरण 5.2

गुणनखंडों को $3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$z' = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$

चरण 6

$z'$ को $\frac{d z}{d u}$ से बदलें.

$\frac{d z}{d u} = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$