एलजेब्रा उदाहरण

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} ((u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}})$

चरण 2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ $n z^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ है, जहाँ $f (z) = u^{3} - {u'}^{3}$ और $g (z) = e^{u^{3} + {u'}^{3}}$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) \frac{d}{d z} [e^{u^{3} + {u'}^{3}}] + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ $f' (g (z)) g' (z)$ है, जहाँ $f (z) = e^{z}$ और $g (z) = u^{3} + {u'}^{3}$ है.

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चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $u^{3} + {u'}^{3}$ के रूप में सेट करें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $u^{3} + {u'}^{3}$ से बदलें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) (e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $z$ के संबंध में $u^{3} + {u'}^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ $f' (g (z)) g' (z)$ है, जहाँ $f (z) = z^{3}$ और $g (z) = u$ है.

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चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $u$ के रूप में सेट करें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $u$ से बदलें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.5

$\frac{d}{d z} [u]$ को $u'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.6

अवकलन करें.

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चरण 3.6.1

चूंकि $z$ के संबंध में ${u'}^{3}$ स्थिर है, $z$ के संबंध में ${u'}^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + 0) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.6.2

$3 u^{2} u'$ और $0$ जोड़ें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

चरण 3.6.3

योग नियम के अनुसार, $z$ के संबंध में $u^{3} - {u'}^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}]$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

चरण 3.7

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चरण 3.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $u$ के रूप में सेट करें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

चरण 3.7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

चरण 3.7.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $u$ से बदलें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

चरण 3.8

$\frac{d}{d z} [u]$ को $u'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

चरण 3.9

चूंकि $z$ के संबंध में $- {u'}^{3}$ स्थिर है, $z$ के संबंध में $- {u'}^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + 0)$

चरण 3.10

$3 u^{2} u'$ और $0$ जोड़ें.

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

चरण 3.11

सरल करें.

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चरण 3.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(u^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}}) (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

चरण 3.11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$u^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

चरण 3.11.3

पदों को मिलाएं.

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चरण 3.11.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u^{2 + 3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

चरण 3.11.3.2

$2$ और $3$ जोड़ें.

$u^{5} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

चरण 3.11.3.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u^{5} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - 3 {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

चरण 3.11.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 = 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u'$

चरण 5

समीकरण को $3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u' = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u' = 1$

चरण 6

$u'$ को $\frac{d u}{d z}$ से बदलें.

$\frac{d u}{d z} = 1$