एलजेब्रा उदाहरण

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

चरण 1.3

$0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.5$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 1.3.2

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 1.3.3

$6$ को $0.125$ से गुणा करें.

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 1.3.4

$0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 1.3.5

$25$ को $0.25$ से गुणा करें.

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 1.3.6

$0.75$ और $6.25$ जोड़ें.

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

चरण 1.3.7

$- 24$ को $0.5$ से गुणा करें.

$7 - 12 + 5$

चरण 1.3.8

$7$ में से $12$ घटाएं.

$- 5 + 5$

चरण 1.3.9

$- 5$ और $5$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

चरण 1.5

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ को $2 x - 1$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

चरण 1.5.2

भाज्य $6 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $28 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $28 x^{2} - 14 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

चरण 1.5.10

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 10 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 10 x + 5$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

चरण 1.5.15

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ लिखें.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

चरण 2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ है और जिसका योग $b = 14$ है.

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चरण 2.1.1.1

$14 x$ में से $14$ का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

चरण 2.1.1.2

$14$ को $- 1$ जोड़ $15$ के रूप में फिर से लिखें

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

चरण 2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

चरण 2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

चरण 2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$