एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = x + \sqrt{x}$

चरण 1

$f (x) = x + \sqrt{x}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = x + \sqrt{x}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = y + \sqrt{y}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $y + \sqrt{y} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + \sqrt{y} = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\sqrt{y} = x - y$

चरण 3.3

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

चरण 3.4

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sqrt{y}$ को $y^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

चरण 3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

घातांक को ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.2

सरल करें.

$y = {(x - y)}^{2}$

चरण 3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

${(x - y)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.1

${(x - y)}^{2}$ को $(x - y) (x - y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = (x - y) (x - y)$

चरण 3.4.3.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - y) (x - y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

चरण 3.4.3.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

चरण 3.4.3.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

चरण 3.4.3.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

चरण 3.4.3.1.3.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

चरण 3.4.3.1.3.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

चरण 3.4.3.1.3.1.4

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1.4.1

$y$ ले जाएं.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

चरण 3.4.3.1.3.1.4.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

चरण 3.4.3.1.3.1.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

चरण 3.4.3.1.3.1.6

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

चरण 3.4.3.1.3.2

$- x y$ में से $y x$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.2.1

$y$ ले जाएं.

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

चरण 3.4.3.1.3.2.2

$- x y$ में से $x y$ घटाएं.

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $y$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

चरण 3.5.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.5.4

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ और $c = x^{2}$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.4

$4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ को ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.5

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = - 2 x - 1$ और $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1.6.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.6.2

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.6.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.6.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.6.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.1.6.6

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

चरण 3.5.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.4

$4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ को ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1.6.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.6.2

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.6.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.6.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.6.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.1.6.6

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

चरण 3.5.6.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

चरण 3.5.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.7.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.4

$4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ को ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.7.1.6.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.6.2

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.6.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.6.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.6.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.1.6.6

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.5.7.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

चरण 3.5.7.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

चरण 3.5.8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ , $f (x) = x + \sqrt{x}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम का डोमेन मूल फंक्शन का परास और इसके विपरीत है. $f (x) = x + \sqrt{x}$ और $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ का डोमेन और परास ज्ञात करें और उनकी तुलना करें.

चरण 5.2

$f (x) = x + \sqrt{x}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

चरण 5.3

$\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

रेडिकैंड को $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

चरण 5.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.3.2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.3.2.1.2.2

$- 4 x - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.3.2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$- 4 x - 1 \leq 0$

चरण 5.3.2.2

असमानता के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$- 4 x \leq 1$

चरण 5.3.2.3

$- 4 x \leq 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

$- 4 x \leq 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

चरण 5.3.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

चरण 5.3.2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{1}{- 4}$

चरण 5.3.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x \geq - \frac{1}{4}$

चरण 5.3.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ का डोमेन $f (x) = x + \sqrt{x}$ की परास के बराबर नहीं है, तो $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ , $f (x) = x + \sqrt{x}$ का व्युत्क्रम नहीं है.

कोई व्युत्क्रम नहीं

चरण 6