एलजेब्रा उदाहरण

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42} \geq 0$

चरण 1

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

चरण 2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x - 18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 18$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 6, 3$

चरण 2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

चरण 3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 4

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 5

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 6) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 6, - 3$

चरण 7

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

चरण 7.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

चरण 7.2.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ है और जिसका योग $b = 13$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$13 u$ में से $13$ का गुणनखंड करें.

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

चरण 7.2.2.2

$13$ को $6$ जोड़ $7$ के रूप में फिर से लिखें

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

चरण 7.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

चरण 7.2.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

चरण 7.2.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

चरण 7.2.4

महत्तम समापवर्तक, $- u + 6$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

चरण 7.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

चरण 8

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

चरण 9

$- x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- x + 6 = 0$

चरण 9.2

$x$ के लिए $- x + 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$- x = - 6$

चरण 9.2.2

$- x = - 6$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$- x = - 6$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

चरण 9.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

चरण 9.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 6}{- 1}$

चरण 9.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.3.1

$- 6$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 6$

चरण 10

$x - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 7 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$x = 7$

चरण 11

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(- x + 6) (x - 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 6, 7$

चरण 12

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = 6, - 3$

$x = 6, 7$

चरण 13

हल समेकित करें.

$x = 6, - 3, 6, 7$

चरण 14

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

चरण 14.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

चरण 14.2.1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.2.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

चरण 14.2.1.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.2.2.1

$13 u$ में से $13$ का गुणनखंड करें.

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

चरण 14.2.1.2.2.2

$13$ को $6$ जोड़ $7$ के रूप में फिर से लिखें

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

चरण 14.2.1.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

चरण 14.2.1.2.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.2.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

चरण 14.2.1.2.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

चरण 14.2.1.2.4

महत्तम समापवर्तक, $- u + 6$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

चरण 14.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

चरण 14.2.2

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

चरण 14.2.3

$- x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.1

$- x + 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- x + 6 = 0$

चरण 14.2.3.2

$x$ के लिए $- x + 6 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$- x = - 6$

चरण 14.2.3.2.2

$- x = - 6$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.2.2.1

$- x = - 6$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

चरण 14.2.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

चरण 14.2.3.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 6}{- 1}$

चरण 14.2.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.2.2.3.1

$- 6$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 6$

चरण 14.2.4

$x - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.4.1

$x - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 7 = 0$

चरण 14.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$x = 7$

चरण 14.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(- x + 6) (x - 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 6, 7$

चरण 14.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

चरण 15

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

चरण 16

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 16.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 18}{13 (- 6) - {(- 6)}^{2} - 42} \geq 0$

चरण 16.1.3

बाईं ओर $- 0.\overline{230769}$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 16.2

अंतराल $- 3 < x < 6$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

अंतराल $- 3 < x < 6$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 16.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18}{13 (0) - {(0)}^{2} - 42} \geq 0$

चरण 16.2.3

बाईं ओर $0.\overline{428571}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 16.3

अंतराल $6 < x < 7$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

अंतराल $6 < x < 7$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 6.5$

चरण 16.3.2

मूल असमानता में $x$ को $6.5$ से बदलें.

$\frac{{(6.5)}^{2} - 3 \cdot 6.5 - 18}{13 (6.5) - {(6.5)}^{2} - 42} \geq 0$

चरण 16.3.3

बाईं ओर $19$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 16.4

अंतराल $x > 7$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

अंतराल $x > 7$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 10$

चरण 16.4.2

मूल असमानता में $x$ को $10$ से बदलें.

$\frac{{(10)}^{2} - 3 \cdot 10 - 18}{13 (10) - {(10)}^{2} - 42} \geq 0$

चरण 16.4.3

बाईं ओर $- 4.\overline{3}$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 16.5

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 3$ गलत

$- 3 < x < 6$ सही

$6 < x < 7$ सही

$x > 7$ गलत

$x < - 3$ गलत

$- 3 < x < 6$ सही

$6 < x < 7$ सही

$x > 7$ गलत

चरण 17

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- 3 \leq x < 6$ या $6 < x < 7$

चरण 18

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

असमानता रूप:

$- 3 \leq x < 6 or 6 < x < 7$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 3, 6) \cup (6, 7)$

चरण 19