एलजेब्रा उदाहरण

$f (t) = \sqrt{t^{2} + 1}$

चरण 1

व्युत्पन्न $f (t)$ के अनिश्चित समाकल का मूल्यांकन करके फलन $F (t)$ पता किया जा सकता है.

$F (t) = \int f (t) d t$

चरण 2

मान लीजिए $t = \tan (t_{1})$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d t = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t_{1})$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 3

$\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \sec (t_{1}) \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 4

घातांक जोड़कर $\sec (t_{1})$ को $\sec^{2} (t_{1})$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sec (t_{1})$ को $\sec^{2} (t_{1})$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sec (t_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sec^{1} (t_{1}) \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\sec (t_{1})}^{1 + 2} d t_{1}$

चरण 4.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 5

$\sec^{3} (t_{1})$ में से $\sec (t_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\int \sec (t_{1}) \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 6

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sec (t_{1})$ और $d v = \sec^{2} (t_{1})$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

चरण 7

$\tan (t_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \tan^{1} (t_{1}) \tan (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 8

$\tan (t_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \tan^{1} (t_{1}) \tan^{1} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int {\tan (t_{1})}^{1 + 1} \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \tan^{2} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 10.2

$\tan^{2} (t_{1})$ और $\sec (t_{1})$ को पुन: क्रमित करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \sec (t_{1}) \tan^{2} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 11

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t_{1})$ को $- 1 + \sec^{2} (t_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \sec (t_{1}) (- 1 + \sec^{2} (t_{1})) d t_{1}$

चरण 12

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \sec (t_{1}) (- 1 + \sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int \sec (t_{1}) \cdot - 1 + \sec (t_{1}) (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

चरण 12.3

$\sec (t_{1})$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \cdot \sec (t_{1}) + \sec (t_{1}) (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

चरण 13

$\sec (t_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \sec (t_{1}) + \sec^{1} (t_{1}) \sec (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 14

$\sec (t_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \sec (t_{1}) + \sec^{1} (t_{1}) \sec^{1} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \sec (t_{1}) + {\sec (t_{1})}^{1 + 1} \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 16

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \sec (t_{1}) + \sec^{2} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

चरण 17

$\sec (t_{1})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \sec (t_{1}) + \sec^{2} (t_{1}) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 18

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \sec (t_{1}) + {\sec (t_{1})}^{2 + 1} d t_{1}$

चरण 19

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - \int - 1 \sec (t_{1}) + \sec^{3} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 20

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - (\int - 1 \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1})$

चरण 21

चूँकि $- 1$ बटे $t_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - (- \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1})$

चरण 22

$t_{1}$ के संबंध में $\sec (t_{1})$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ है.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - (- (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1})$

चरण 23

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) - - (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) - \int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 23.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) + 1 (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) - \int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1}$

चरण 24

$\int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1}$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int \sec^{3} (t_{1}) d t_{1}$ = $\frac{\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) + 1 (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) + 1 (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C)}{2} + C$

चरण 25

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) + \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C}{2} + C$

चरण 26

सरल करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t_{1}) \tan (t_{1}) + \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)) + C$

चरण 27

$t_{1}$ की सभी घटनाओं को $\arctan (t)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (t)) \tan (\arctan (t)) + \ln (| \sec (\arctan (t)) + \tan (\arctan (t)) |)) + C$

चरण 28

फलन $F$ यदि फलन के व्युत्पन्न के अभिन्न से व्युत्पन्न होता है. यह कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा मान्य है.

$F (t) = \frac{1}{2} \cdot (\sec (\arctan (t)) \tan (\arctan (t)) + \ln (| \sec (\arctan (t)) + \tan (\arctan (t)) |)) + C$