एलजेब्रा उदाहरण

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\log_{2} ((x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.2

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)$ का प्रसार करें.

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\log_{2} (x^{1 + 2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\log_{2} (x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$\log_{2} (x^{3} - 3 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.4

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 \cdot x + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.5

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.1.6

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.2

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

$- 3 x^{2}$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$\log_{2} (x^{3} - 2 x + 0 - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.2.1.2

$x^{3} - 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\log_{2} (x^{3} - 2 x - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 1.3.2.2

$- 2 x$ में से $9 x$ घटाएं.

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

चरण 2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) - \log_{2} (x^{2} + x - 6) = 2$

चरण 3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{x^{2} + x - 6}) = 2$

चरण 4

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 2, 3$

चरण 4.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$

चरण 5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b$ $\neq$ $1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$2^{2} = \frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}$

चरण 6

भिन्न को हटाने के लिए क्रॉस गुणा करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 2^{2} ((x - 2) (x + 3))$

चरण 7

$2^{2} ((x - 2) (x + 3))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 ((x - 2) (x + 3))$

चरण 7.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 2) (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x (x + 3) - 2 (x + 3))$

चरण 7.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x + 3))$

चरण 7.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

चरण 7.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

चरण 7.3.1.2

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 \cdot x - 2 x - 2 \cdot 3)$

चरण 7.3.1.3

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 x - 2 x - 6)$

चरण 7.3.2

$3 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x - 6)$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 6$

चरण 7.5

$4$ को $- 6$ से गुणा करें.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x - 24$

चरण 8

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x^{2}$ घटाएं.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} = 4 x - 24$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x$ घटाएं.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} - 4 x = - 24$

चरण 8.3

$- 11 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$x^{3} - 15 x - 6 - 4 x^{2} = - 24$

चरण 9

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

चरण 9.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 9.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 9.2.3

$- 2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

$- 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

चरण 9.2.3.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

चरण 9.2.3.3

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 - 4 \cdot 4 - 15 \cdot - 2 - 6$

चरण 9.2.3.4

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$- 8 - 16 - 15 \cdot - 2 - 6$

चरण 9.2.3.5

$- 8$ में से $16$ घटाएं.

$- 24 - 15 \cdot - 2 - 6$

चरण 9.2.3.6

$- 15$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 24 + 30 - 6$

चरण 9.2.3.7

$- 24$ और $30$ जोड़ें.

$6 - 6$

चरण 9.2.3.8

$6$ में से $6$ घटाएं.

$0$

चरण 9.2.4

चूँकि $- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6}{x + 2}$

चरण 9.2.5

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ को $x + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$6$

चरण 9.2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

चरण 9.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 9.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 9.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

चरण 9.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

चरण 9.2.5.7

भाज्य $- 6 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

चरण 9.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

चरण 9.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 6 x^{2} - 12 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 9.2.5.10

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$

चरण 9.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

चरण 9.2.5.12

भाज्य $- 3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

चरण 9.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

चरण 9.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x - 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

चरण 9.2.5.15

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$
										$0$

चरण 9.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 6 x - 3$

चरण 9.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ लिखें.

$(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3) = - 24$

चरण 10

$(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ का प्रसार करें.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{1} x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.4

$- 3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.5

$- 6$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot - 3 = - 24$

चरण 10.2.1.6

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x - 6 = - 24$

चरण 10.2.2

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$- 6 x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 12 x - 6 = - 24$

चरण 10.2.2.2

$- 3 x$ में से $12 x$ घटाएं.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

चरण 11

समीकरण के दोनों पक्षों में $24$ जोड़ें.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 + 24 = 0$

चरण 12

$- 6$ और $24$ जोड़ें.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18 = 0$

चरण 13

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 13.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

चरण 13.1.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

चरण 13.1.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

चरण 13.1.3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 4 \cdot 1 - 15 \cdot 1 + 18$

चरण 13.1.3.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 4 - 15 \cdot 1 + 18$

चरण 13.1.3.5

$1$ में से $4$ घटाएं.

$- 3 - 15 \cdot 1 + 18$

चरण 13.1.3.6

$- 15$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 - 15 + 18$

चरण 13.1.3.7

$- 3$ में से $15$ घटाएं.

$- 18 + 18$

चरण 13.1.3.8

$- 18$ और $18$ जोड़ें.

$0$

चरण 13.1.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18}{x - 1}$

चरण 13.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.5.1

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$18$

चरण 13.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$

चरण 13.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 13.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 13.1.5.5

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

चरण 13.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

चरण 13.1.5.7

भाज्य $- 3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

चरण 13.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

चरण 13.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x^{2} + 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

चरण 13.1.5.10

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$

चरण 13.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

चरण 13.1.5.12

भाज्य $- 18 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

चरण 13.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							-	$18 x$	+	$18$

चरण 13.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 18 x + 18$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$

चरण 13.1.5.15

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$
										$0$

चरण 13.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 3 x - 18$

चरण 13.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ लिखें.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

चरण 13.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x - 18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 3 x - 18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 18$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 6, 3$

चरण 13.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 1) ((x - 6) (x + 3)) = 0$

चरण 13.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$

चरण 14

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 15

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 15.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 16

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 16.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 17

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 17.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 18

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, 6, - 3$

चरण 19

उन हलों को छोड़ दें जो $\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$x = 6$