कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

चरण 1

एक अनंत श्रेणी $\sum_{}^{} a_{n}$ के लिए, कौशी के रूट टेस्ट का उपयोग करके अभिसरण निर्धारित करने के लिए लिमिट $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ ज्ञात करें.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

चरण 2

$a_{n}$ के लिए प्रतिस्थापित करें.

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घातांक को निरपेक्ष मान में बदलें.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

चरण 3.2

घातांक को ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

चरण 3.2.2

$n$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

चरण 3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

चरण 3.3

सरल करें.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

लिमिट को निरपेक्ष मान चिह्नों के अंदर ले जाएँ.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

चरण 4.2

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $n$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $n^{3}$ है.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$n$ और $n^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1.1

$2 n$ में से $n$ का गुणनखंड करें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1.2.1

$n^{3}$ में से $n$ का गुणनखंड करें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.1.2

$n^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.2

$n^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.2.2

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.3

जैसे ही $n$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.4

जैसे-जैसे $n$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.3.5

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $n$ के संबंध में स्थिर है.

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.4

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{n^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.5.2

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.5.3

$5$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $n$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

चरण 4.6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{n^{3}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

चरण 4.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

चरण 4.7.1.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

चरण 4.7.2

$5$ और $0$ जोड़ें.

$L = | \frac{1}{5} |$

चरण 4.7.3

$\frac{1}{5}$ लगभग $0.2$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$L = \frac{1}{5}$

चरण 4.8

$1$ को $5$ से विभाजित करें.

$L = 0.2$

चरण 5

यदि $L < 1$ , श्रेणी पूर्णतया अभिसारी है. यदि $L > 1$ , श्रेणी अपसारी है. यदि $L = 1$ , टेस्ट अनिर्णायक है. इस स्थिति में, $L < 1$ होगी.

श्रेणी $[1, \infty)$ पर अभिसारी है

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