कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

चरण 1.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

चरण 1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{4 y - 3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

चरण 1.4

$4 y - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

चरण 1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 4 y - 3$ .फिर $d u = 4 d y$ , तो $\frac{1}{4} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 4 y - 3$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$4 y - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $4 y - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [4 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $4$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

चरण 2.2.1.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

चरण 2.2.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 2.2.1.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.2.2

$4$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $4 y - 3$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ और $\ln (| 4 y - 3 |)$ को मिलाएं.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

चरण 3.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

चरण 3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 4 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

चरण 3.4.1.1.2

${| x |}^{4}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

चरण 3.4.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

चरण 3.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

चरण 3.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

समीकरण को $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

चरण 3.7.2

दोनों पक्षों को $x^{4}$ से गुणा करें.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

चरण 3.7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1

$x^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

चरण 3.7.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

चरण 3.7.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.2.1

गुणनखंडों को $e^{4 C} x^{4}$ में पुन: क्रमित करें.

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

चरण 3.7.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

चरण 3.7.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

चरण 3.7.4.3

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.3.1

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 3.7.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.3.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 3.7.4.3.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 5

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

चरण 6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

चरण 6.2.2

$C$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

चरण 6.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{3}{4}$ घटाएं.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

चरण 6.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

चरण 6.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

चरण 6.3.4

$4$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

चरण 6.4

चूंकि समीकरण के प्रत्येक पक्ष के व्यंजक का हर समान होता है, इसलिए भाजक बराबर होने चाहिए.

$C = 1$

चरण 7

$1$ को $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

चरण 7.2

$x^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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