Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 75 \\ B = & 20 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (75)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

La valeur exacte de $\sin (75)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sin (30 + 45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Étape 3.1.4

Évaluez $\sin (20)$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{0.34202014}{4}$

Étape 3.1.5

Divisez $0.34202014$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 a, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 a$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ par $4 a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ par $4 a$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} (4 a) = 0.08550503 (4 a)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 (a)} a = 0.08550503 (4 a)$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Étape 3.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.08550503 (4 a)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $4$ par $0.08550503$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.34202014 a$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

$0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ par $0.34202014$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ par $0.34202014$ .

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.34202014$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Évaluez la racine.

$a = \frac{1.41421356}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Divisez $1.41421356$ par $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Évaluez la racine.

$a = 4.13488383 + \frac{2.44948974}{0.34202014}$

Étape 3.4.2.3.1.4

Divisez $2.44948974$ par $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + 7.16182888$

Étape 3.4.2.3.2

Additionnez $4.13488383$ et $7.16182888$ .

$a = 11.29671272$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$75 + C + 20 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 5.1

Additionnez $75$ et $20$ .

$C + 95 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $95$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 95$

Étape 5.2.2

Soustrayez $95$ de $180$ .

$C = 85$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (85)}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (85)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\sin (75)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 8.1.2.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.2.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1.2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1.2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Étape 8.1.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Étape 8.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{11.29671272}$

Étape 8.1.4

Divisez $1$ par $11.29671272$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$ .

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Étape 8.1.5.1

Associez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.08852132}{4}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ par $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.34202014}{4}$

Étape 8.1.6

Divisez $0.34202014$ par $4$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$c$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ par $c$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ par $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.99619469 = 0.08550503 c$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.08550503 c = 0.99619469$ .

$0.08550503 c = 0.99619469$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.08550503 c = 0.99619469$ par $0.08550503$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.08550503 c = 0.99619469$ par $0.08550503$ .

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.08550503$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.99619469$ par $0.08550503$ .

$c = 11.65071376$