Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Remplacez le $2 \cos^{2} (x)$ par $2 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Étape 4

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u^{2} - u + 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 u^{2}) - u$ .

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 7

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 8

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 10

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 12.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 12.4

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 1$ .

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Étape 13.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 13.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 13.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 13.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 13.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 13.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 13.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.6.3

Associez les fractions.

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Étape 13.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 13.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 13.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 13.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 13.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 16.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 16.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Étape 16.1.2

Simplifiez

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Étape 16.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 16.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Étape 16.1.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.1.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Étape 16.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Étape 16.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Étape 16.1.2.1.1.2.4

Divisez $2 π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Étape 16.1.2.1.2

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 16.1.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Étape 16.1.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Étape 16.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 16.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 16.2

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 16.2.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Étape 16.2.2

Simplifiez

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Étape 16.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Étape 16.2.2.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 16.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.2.2.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 16.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Étape 16.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Étape 16.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Étape 16.2.2.5.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 16.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 16.3

Insérez $2$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 16.3.1

Insérez $2$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Étape 16.3.2

Simplifiez

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Étape 16.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Étape 16.3.2.2

Pour écrire $\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 16.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.3.2.3.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 16.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Étape 16.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Étape 16.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Étape 16.3.2.5.2

Additionnez $π$ et $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Étape 16.3.2.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 16.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Étape 16.3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.3.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Étape 16.3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Étape 16.3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 π}{2}$

Étape 16.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$