Trigonométrie Exemples

$y = \log (x + 3)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \log (y + 3)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log (y + 3) = x$ .

$\log (y + 3) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log (y + 3) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{x} = y + 3$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $y + 3 = 10^{x}$ .

$y + 3 = 10^{x}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = 10^{x} - 3$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$ est l’inverse de $f (x) = \log (x + 3)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log (x + 3))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = 10^{\log (x + 3)} - 3$

Étape 4.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = x + 3 - 3$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log (x + 3)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (10^{x} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (10^{x} - 3) = \log ((10^{x} - 3) + 3)$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(10^{x} - 3) + 3$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (10^{x} - 3) = \log (10^{x} + 0)$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $10^{x}$ et $0$ .

$f (10^{x} - 3) = \log (10^{x})$

Étape 4.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (10^{x} - 3) = x \log (10)$

Étape 4.3.5

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$f (10^{x} - 3) = x \cdot 1$

Étape 4.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (10^{x} - 3) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$ est l’inverse de $f (x) = \log (x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{x} - 3$