Trigonométrie Exemples

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{1}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 1$ et $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

Étape 7

Associez ${(- 1)}^{n - 1}$ et $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 8

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 9

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Étape 10

Multipliez $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ par $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Étape 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multipliez $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Étape 11.2

Associez.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ dans le numérateur.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3^{5}$ .

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.3.4

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.9

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.10

Associez $- 3$ et $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.12

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.12.1

Multipliez $- 3$ par $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.12.2

Soustrayez $243$ de $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 15

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

Étape 15.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

Étape 16

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Étape 17

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{244}{81}$ dans le numérateur.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Étape 17.2

Factorisez $4$ à partir de $- 244$ .

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Étape 17.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 17.4

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 17.5

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

Étape 18

Multipliez $\frac{- 61}{81}$ par $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

Étape 19

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

Étape 20

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{5} = \frac{61}{81}$