Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) < 0$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ < \arcsin (0)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$θ < 0$

Étape 3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - 0$

Étape 4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$θ = π$

Étape 5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$θ = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < θ < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < θ < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$θ = 2$

Étape 9.1.2

Remplacez $θ$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2) < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $π < θ < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < θ < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$θ = 5$

Étape 9.2.2

Remplacez $θ$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 0.95892427$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < θ < π$ Faux

$π < θ < 2 π$ Vrai

$0 < θ < π$ Faux

$π < θ < 2 π$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(π + 2 π n, 2 π + 2 π n)$

Étape 12