Trigonométrie Exemples

$(- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{\sqrt{10}}, 0)$ et $(- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ .

Opposé : $\frac{3}{\sqrt{10}}$

Adjacent : $- \frac{1}{\sqrt{10}}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{{(- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{10}}{10})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{10}}{10})}^{2} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{10^{1}}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{10}{10^{2}} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.6

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{10}{100} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $10$ et $100$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\sqrt{\frac{10 (1)}{100} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $10$ à partir de $100$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.9.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})}^{2}}$

Étape 2.9.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})}^{2}}$

Étape 2.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Étape 2.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})}^{2}}$

Étape 2.9.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Étape 2.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Étape 2.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Étape 2.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Étape 2.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}})}^{2}}$

Étape 2.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{10} + {(\frac{3 \sqrt{10}}{10})}^{2}}$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{{(3 \sqrt{10})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{3^{2} {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {\sqrt{10}}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.11.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.11.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Étape 2.11.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Étape 2.11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 2.11.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.11.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Étape 2.11.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10^{1}}{10^{2}}}$

Étape 2.11.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{10^{2}}}$

Étape 2.12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.12.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9 \cdot 10}{100}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{90}{100}}$

Étape 2.12.3

Annulez le facteur commun à $90$ et $100$ .

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Étape 2.12.3.1

Factorisez $10$ à partir de $90$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 (9)}{100}}$

Étape 2.12.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.12.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $100$ .

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Étape 2.12.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{10 \cdot 9}{10 \cdot 10}}$

Étape 2.12.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}}$

Étape 2.12.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 9}{10}}$

Étape 2.12.4.2

Additionnez $1$ et $9$ .

$\sqrt{\frac{10}{10}}$

Étape 2.12.4.3

Divisez $10$ par $10$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.12.4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{- \frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$ .

$\frac{- \frac{1}{\sqrt{10}}}{1}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Divisez $- \frac{1}{\sqrt{10}}$ par $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10} \approx - 0.31622776$