Trigonométrie Exemples

$f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ comme une équation.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{4}{3} y + \frac{8}{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{4}{3} y + \frac{8}{3} = x$ .

$- \frac{4}{3} y + \frac{8}{3} = x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $y$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} = x$

Étape 3.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$- \frac{4 y}{3} + \frac{8}{3} = x$

Étape 3.3

Soustrayez $\frac{8}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{4 y}{3} = x - \frac{8}{3}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} (- \frac{4 y}{3}) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{4} (- \frac{4 y}{3})$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{4} (- \frac{4 y}{3}) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 y}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{3} = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- \frac{3}{4} (x - \frac{8}{3})$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} (- \frac{8}{3})$

Étape 3.5.2.1.1.2

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} (- \frac{8}{3})$

Étape 3.5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} (- \frac{8}{3})$

Étape 3.5.2.1.1.3.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Étape 3.5.2.1.1.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Étape 3.5.2.1.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 8}{3}$

Étape 3.5.2.1.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 8$

Étape 3.5.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.1.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Étape 3.5.2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Étape 3.5.2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - - 2$

Étape 3.5.2.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 2$

Étape 3.5.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (- \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{8}{3})}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{- 4 x + 8}{3})}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 8$ .

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Étape 5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x) + 8}{3})}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x) + 4 (2)}{3})}{4} + 2$

Étape 5.2.3.1.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{3 (\frac{4 (- x + 2)}{3})}{4} + 2$

Étape 5.2.3.2

Associez $3$ et $\frac{4 (- x + 2)}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{12 (- x + 2)}{3}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.1

Réduisez l’expression $\frac{12 (- x + 2)}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 (- x + 2)$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3 (1)}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{3 (4 (- x + 2))}{3 \cdot 1}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{\frac{4 (- x + 2)}{1}}{4} + 2$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $4 (- x + 2)$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{4 (- x + 2)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - \frac{4 (- x + 2)}{4} + 2$

Étape 5.2.3.5.2

Divisez $- x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = - (- x + 2) + 2$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Étape 5.2.3.7

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = 1 x - 1 \cdot 2 + 2$

Étape 5.2.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 1 \cdot 2 + 2$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{3 x}{4} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4} + 2) + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4}) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 4}{3} \cdot (- \frac{3 x}{4}) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{4} - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = - 1 (- x) - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = 1 x - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.6

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - 2 (\frac{4}{3}) + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + \frac{- 2 \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.6.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + \frac{- 8}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x - \frac{8}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - \frac{8}{3} + \frac{8}{3}$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- \frac{8}{3}$ et $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{3 x}{4} + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{4} + 2$