Trigonométrie Exemples

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 36 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 18}{9}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $9$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $1296$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Étape 1.3

Remplacez $9 x^{2} - 36 x$ par $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ dans l’équation $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

Étape 1.4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- y^{2} - 6 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 3$ comme $- - 3$ .

$d = - - 3$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$d = 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $36$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$e = 9$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Étape 1.6

Remplacez $- y^{2} - 6 y$ par $- {(y + 3)}^{2} + 9$ dans l’équation $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

Étape 1.7

Déplacez $9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

Étape 1.8

Simplifiez $- 18 + 36 - 9$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 18$ et $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

Étape 1.8.2

Soustrayez $9$ de $18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $9$ .

$\sqrt{10}$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

Étape 5.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

Étape 5.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

Étape 6