Trigonométrie Exemples

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

Étape 1

Définissez $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ égal à $0$ .

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Étape 2.1.3

Remplacez $- 0.\overline{6}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.\overline{6}$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $- 0.\overline{6}$ dans le polynôme.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Étape 2.1.3.2

Élevez $- 0.\overline{6}$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Étape 2.1.3.4

Élevez $- 0.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 16$ par $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Étape 2.1.3.6

Soustrayez $7.11111111$ de $- 0.\overline{8}$ .

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 30$ par $- 0.\overline{6}$ .

$- 8 + 20 - 12$

Étape 2.1.3.8

Additionnez $- 8$ et $20$ .

$12 - 12$

Étape 2.1.3.9

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $- 0.\overline{6}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

Étape 2.1.5

Divisez $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ par $3 x + 2$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 18 x - 12$

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 6 x - 6$

Étape 2.1.6

Écrivez $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Étape 2.3

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 6 x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 6 x - 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Additionnez $36$ et $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 2.4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Forme décimale :

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

Étape 4