Trigonométrie Exemples

$f (x) = 12 \cos^{2} (x) - 6$

Étape 1

Définissez $12 \cos^{2} (x) - 6$ égal à $0$ .

$12 \cos^{2} (x) - 6 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$12 \cos^{2} (x) = 6$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $12 \cos^{2} (x) = 6$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 \cos^{2} (x) = 6$ par $12$ .

$\frac{12 \cos^{2} (x)}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cos^{2} (x)}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{6}{12}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $12$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{6 (1)}{12}$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.7.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 2.7.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 2.7.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.7.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 2.7.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.7.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 2.8.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3