Trigonométrie Exemples

$f (t) = \frac{2}{3} \cos (t)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$\frac{2}{3} (- \sin (t))$

Étape 1.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sin (t)$ .

$- \frac{2 \sin (t)}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{2 \sin (t)}{3}$ par rapport à $t$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d t} \sin (t)$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Associez $\cos (t)$ et $\frac{2}{3}$ .

$f'' (t) = - \frac{\cos (t) \cdot 2}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2 \cos (t)}{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 \sin (t)}{3} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 \sin (t) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (t) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (t) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\sin (t)$ par $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\sin (t) = 0$

Étape 5.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$t = \arcsin (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$t = 0$

Étape 5.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$t = π - 0$

Étape 5.5

Soustrayez $0$ de $π$ .

$t = π$

Étape 5.6

La solution de l’équation est $t = 0$ .

$t = 0, π$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 \cos (0)}{3}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{3}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Étape 8

$t = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 0$ est un maximum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $t = 0$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 9.2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $t = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 \cos (π)}{3}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 11.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2}{3}$

Étape 11.3

Multipliez $- - \frac{2}{3}$ .

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Étape 11.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 12

$t = π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = π$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $t = π$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $t$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (0))$

Étape 13.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Étape 13.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot - 1$

Étape 13.2.4

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 13.2.4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$f (π) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 13.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (π) = \frac{- 2}{3}$

Étape 13.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (π) = - \frac{2}{3}$

Étape 13.2.6

La réponse finale est $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (t) = \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ .

$(0, \frac{2}{3})$ est un maximum local

$(π, - \frac{2}{3})$ est un minimum local

Étape 15