Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ , $(0, 2 π)$

Étape 1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = 1$

Étape 5.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 5.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $(0, 2 π)$ .

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Étape 8.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 8.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Étape 8.1.2

Simplifiez

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 8.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 8.1.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 8.2

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 8.2.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Étape 8.2.2

Simplifiez

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Étape 8.2.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 8.2.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 8.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Étape 8.2.2.4.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 8.2.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$