Trigonométrie Exemples

$2 {(\sqrt{3} - 1)}^{- 2}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez ${(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} - 1)$ .

$2 \frac{1}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} - 1)}$

Étape 2.2

Développez $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{\sqrt{3} (\sqrt{3} - 1) - 1 (\sqrt{3} - 1)}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{3} - 1)}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 \frac{1}{3 + \sqrt{3} \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$2 \frac{1}{3 - 1 \cdot \sqrt{3} - 1 \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.6

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$2 \frac{1}{3 - \sqrt{3} - 1 \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.7

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$2 \frac{1}{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.3.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}$

Étape 2.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 \frac{1}{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Étape 2.3.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$2 \frac{1}{4 - 2 \sqrt{3}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{4 - 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{4 - 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3}})$

Étape 4

Multipliez $\frac{1}{4 - 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3}}$ .

$2 \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{(4 - 2 \sqrt{3}) (4 + 2 \sqrt{3})}$

Étape 5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$2 \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{16 + 8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

$2 \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2 (2)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Étape 8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Étape 8.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$3.73205080 \dots$