Trigonométrie Exemples

$a = 10$ , $b = 9$ , $c = 7$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(9)}^{2} + {(7)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (9) (7)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 7^{2} - 10^{2}}{2 (9) \cdot 7})$

Étape 4.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 10^{2}}{2 (9) \cdot 7})$

Étape 4.1.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 1 \cdot 100}{2 (9) \cdot 7})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 100}{2 (9) \cdot 7})$

Étape 4.1.5

Additionnez $81$ et $49$ .

$A = \arccos (\frac{130 - 100}{2 (9) \cdot 7})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $100$ de $130$ .

$A = \arccos (\frac{30}{2 (9) \cdot 7})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$A = \arccos (\frac{30}{18 \cdot 7})$

Étape 4.2.2

Multipliez $18$ par $7$ .

$A = \arccos (\frac{30}{126})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $30$ et $126$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$A = \arccos (\frac{6 (5)}{126})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $126$ .

$A = \arccos (\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 21})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 21})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{5}{21})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (\frac{5}{21})$ .

$A = 76.225853$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(7)}^{2} - {(9)}^{2}}{2 (10) (7)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 7^{2} - 9^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 8.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 9^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 8.1.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 1 \cdot 81}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 81}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 8.1.5

Additionnez $100$ et $49$ .

$B = \arccos (\frac{149 - 81}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $81$ de $149$ .

$B = \arccos (\frac{68}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$B = \arccos (\frac{68}{20 \cdot 7})$

Étape 8.2.2

Multipliez $20$ par $7$ .

$B = \arccos (\frac{68}{140})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $68$ et $140$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $4$ à partir de $68$ .

$B = \arccos (\frac{4 (17)}{140})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $140$ .

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 17}{4 \cdot 35})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 17}{4 \cdot 35})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{17}{35})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{17}{35})$ .

$B = 60.94071893$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$76.225853 + C + 60.94071893 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $76.225853$ et $60.94071893$ .

$C + 137.16657193 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $137.16657193$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 137.16657193$

Étape 10.2.2

Soustrayez $137.16657193$ de $180$ .

$C = 42.83342806$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 76.225853$

$B = 60.94071893$

$C = 42.83342806$

$a = 10$

$b = 9$

$c = 7$