Trigonométrie Exemples

$(1.8, - 2)$ , $(3.8, - 1.4)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1.8 \cdot 3.8 - 2 \cdot - 1.4$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $1.8$ par $3.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 - 2 \cdot - 1.4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1.4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 + 2.8$

Étape 2.2.2

Additionnez $6.84$ et $2.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.64$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{1.8}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $1.8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + 4}$

Étape 3.2.3

Additionnez $3.24$ et $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7.24}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{3.8}^{2} + {(- 1.4)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $3.8$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + {(- 1.4)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1.4$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + 1.96}$

Étape 4.2.3

Additionnez $14.44$ et $1.96$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16.4}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24} \sqrt{16.4}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24 \cdot 16.4}})$

Étape 6.1.2

Multipliez $7.24$ par $16.4$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}})$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ par $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}} \cdot \frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}})$

Étape 6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ par $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736} \sqrt{118.736}})$

Étape 6.3.2

Élevez $\sqrt{118.736}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} \sqrt{118.736}})$

Étape 6.3.3

Élevez $\sqrt{118.736}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} {\sqrt{118.736}}^{1}})$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1 + 1}})$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{2}})$

Étape 6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{118.736}}^{2}$ comme $118.736$ .

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Étape 6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{118.736}$ comme ${118.736}^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{({118.736}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{1}})$

Étape 6.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{118.736})$

Étape 6.4

Multipliez $9.64$ par $\sqrt{118.736}$ .

$θ = \arccos (\frac{105.04327196}{118.736})$

Étape 6.5

Divisez $105.04327196$ par $118.736$ .

$θ = \arccos (0.88467922)$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (0.88467922)$ .

$θ = 27.78792807$