Trigonométrie Exemples

$\cos (105) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (105)$ est $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (75) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \cos (30 + 45) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.8.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \cos (60) \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cos (45) - \sin (60) \sin (45)$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (60) \sin (45)$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (60) \sin (45)$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (60) \sin (45)$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.6

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 3