Trigonométrie Exemples

$\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$u = 0$

Étape 2

Définissez le radicande dans $\sqrt{64 - u^{2}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$64 - u^{2} < 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’inégalité.

$- u^{2} < - 64$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- u^{2} < - 64$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- u^{2} < - 64$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- u^{2}}{- 1} > \frac{- 64}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{u^{2}}{1} > \frac{- 64}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $u^{2}$ par $1$ .

$u^{2} > \frac{- 64}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Divisez $- 64$ par $- 1$ .

$u^{2} > 64$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{u^{2}} > \sqrt{64}$

Étape 3.4

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| u | > \sqrt{64}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{64}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| u | > \sqrt{8^{2}}$

Étape 3.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| u | > | 8 |$

Étape 3.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $8$ est $8$ .

$| u | > 8$

Étape 3.5

Écrivez $| u | > 8$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$u \geq 0$

Étape 3.5.2

Dans la partie où $u$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$u > 8$

Étape 3.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$u < 0$

Étape 3.5.4

Dans la partie où $u$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- u > 8$

Étape 3.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} u > 8 & u \geq 0 \\ - u > 8 & u < 0 \end{cases}$

Étape 3.6

Déterminez l’intersection de $u > 8$ et $u \geq 0$ .

$u > 8$

Étape 3.7

Divisez chaque terme dans $- u > 8$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Divisez chaque terme dans $- u > 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- u}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{u}{1} < \frac{8}{- 1}$

Étape 3.7.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u < \frac{8}{- 1}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Divisez $8$ par $- 1$ .

$u < - 8$

Étape 3.8

Déterminez l’union des solutions.

$u < - 8$ ou $u > 8$

Étape 4

Définissez l’argument dans $\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}) = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $u$ from inside the arccotangent.

$\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 8$ et $b = u$ .

$\frac{\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.3

Réalisez le produit en croix.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$\cot (\frac{π}{2} + π n) \cdot (u) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cot (\frac{π}{2} + π n) u$ .

$u \cot (\frac{π}{2} + π n) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

Étape 5.4

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ .

$\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(8 + u) (8 - u)}$ comme ${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Simplifiez ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((8 + u) (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.2

Développez $(8 + u) (8 - u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(8 (8 - u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.3.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

${(64 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

${(64 - 8 u + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3.1.3

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

${(64 - 8 u + 8 \cdot u + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(64 - 8 u + 8 u - u \cdot u)}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3.1.5

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.3.1.5.1

Déplacez $u$ .

${(64 - 8 u + 8 u - (u \cdot u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3.1.5.2

Multipliez $u$ par $u$ .

${(64 - 8 u + 8 u - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3.2

Additionnez $- 8 u$ et $8 u$ .

${(64 + 0 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.3.3

Additionnez $64$ et $0$ .

${(64 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.2.1.4

Simplifiez

$64 - u^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1

Appliquez la règle de produit à $u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ .

$64 - u^{2} = u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.7

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Déplacez tous les termes contenant $u$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1.1

Soustrayez $u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ des deux côtés de l’équation.

$64 - u^{2} - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Étape 5.7.1.2

Factorisez $- u^{2}$ à partir de $- u^{2}$ .

$64 - u^{2} (1) - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Étape 5.7.1.3

Factorisez $- u^{2}$ à partir de $- u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

$64 - u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

Étape 5.7.1.4

Factorisez $- u^{2}$ à partir de $- u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n))$ .

$64 - u^{2} (1 + \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

Étape 5.7.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$64 - u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Étape 5.7.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$

Étape 5.7.3

Divisez chaque terme dans $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ par $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.1

Divisez chaque terme dans $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ par $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

$\frac{- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 5.7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 5.7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 5.7.3.2.2.2

Divisez $u^{2}$ par $1$ .

$u^{2} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 5.7.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$u^{2} = \frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 5.7.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

Étape 5.7.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

Étape 5.7.5.2

Réécrivez $\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$ comme ${(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}}$

Étape 5.7.5.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \pm \frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 5.7.5.4

Séparez les fractions.

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

Étape 5.7.5.5

Réécrivez $\csc (\frac{π}{2} + π n)$ en termes de sinus et de cosinus.

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}}$

Étape 5.7.5.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}$ .

$u = \pm \frac{8}{1} (1 \sin (\frac{π}{2} + π n))$

Étape 5.7.5.7

Multipliez $\sin (\frac{π}{2} + π n)$ par $1$ .

$u = \pm \frac{8}{1} \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.7.5.8

Divisez $8$ par $1$ .

$u = \pm 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.7.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.7.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 5.7.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Étape 6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${u | u < - 8, u > 8, u = 0, u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n), u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 7