Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sin (x)}$ comme ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$\sin (x) = 0^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 2.3.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 2.3.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.3.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.3.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.3.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.3.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.3.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $\sqrt{\sin (x)} = 0$ et en résolvant.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{\sin (x)}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sin (x) < 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x < \arcsin (0)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x < 0$

Étape 4.3

$x = π - 0$

Étape 4.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 4.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.7

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Étape 4.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 4.9.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2) < 0$

Étape 4.9.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 4.9.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) < 0$

Étape 4.9.2.3

Le côté gauche $- 0.95892427$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < π$ Faux

$π < x < 2 π$ Vrai

$0 < x < π$ Faux

$π < x < 2 π$ Vrai

Étape 4.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 6