Trigonométrie Exemples

$\log (3 x) = \log (5) + \log (x - 4)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\log (5)$ des deux côtés de l’équation.

$\log (3 x) - \log (5) = \log (x - 4)$

Étape 1.2

Soustrayez $\log (x - 4)$ des deux côtés de l’équation.

$\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{3 x}{5}) - \log (x - 4) = 0$

Étape 2.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{3 x}{5}}{x - 4}) = 0$

Étape 2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log (\frac{3 x}{5} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 0$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{3 x}{5}$ par $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)}) = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 (x - 4) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 4) = 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 4) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{3 x}{5 (x - 4)} \leq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 6.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 4$

Étape 6.5

Consolidez les solutions.

$x = 0, 4$

Étape 6.6

Déterminez le domaine de $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ .

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Étape 6.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 (x - 4) = 0$

Étape 6.6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 4) = 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.6.2.1.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 4) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 6.6.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.6.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 6.6.2.1.2.1.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Étape 6.6.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.2.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.6.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 6.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 2)}{5 ((- 2) - 4)} \leq 0$

Étape 6.8.1.3

Le côté gauche $0.2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 6.8.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (2)}{5 ((2) - 4)} \leq 0$

Étape 6.8.2.3

Le côté gauche $- 0.6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 6.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (6)}{5 ((6) - 4)} \leq 0$

Étape 6.8.3.3

Le côté gauche $1.8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 6.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x < 4$

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$0 \leq x \leq 4$

$[0, 4]$

Étape 8