Trigonométrie Exemples

$y = \tan (5 - \sin^{2} (2 x))$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\tan (5 - \sin^{2} (2 x))$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 - \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (2 x)}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin^{2} (2 x)}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $\sin^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ .

$\sin^{2} (2 x) = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{π}{2}$ comme $- \frac{π}{2}$ .

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.2.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{π n}{- 1}$ .

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - 1 \cdot (π n) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (π n)$ comme $- (π n)$ .

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - (π n) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.2.3.1.5

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - π n + 5$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2} - π n + 5}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{π}{2} - π n + 5}$ .

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- π n + 5 - \frac{π}{2}}$

Étape 2.4.2

Pour écrire $- π n$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- π n \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} + 5}$

Étape 2.4.3

Associez $- π n$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- π n \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} + 5}$

Étape 2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- π n \cdot 2 - π}{2} + 5}$

Étape 2.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + 5}$

Étape 2.4.6

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.4.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.7.1

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.4.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π + 5 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.8.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π + 10}{2}}$

Étape 2.4.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n + 10 - π}{2}}$

Étape 2.4.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{- 2 π n + 10 - π}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.11.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.11.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.4.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.11.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{(- 2 π n + 10 - π) \cdot 2}}{2}$

Étape 2.4.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- 2 π n + 10 - π) \cdot 2}}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Étape 2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Étape 2.7

Résolvez $x$ dans $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$ .

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Étape 2.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$

Étape 2.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Étape 2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Étape 2.8

Résolvez $x$ dans $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$ .

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Étape 2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$

Étape 2.8.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Étape 2.8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Étape 2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = - 0.28301993 + 0.28301993 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = - 0.28301993 + 0.28301993 n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4