Trigonométrie Exemples

$\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 r^{2} + 23 r - 10 = 0$

Étape 2

Résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 10 = - 50$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 r$ .

$5 r^{2} + 23 (r) - 10 = 0$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $23$ comme $- 2$ plus $25$

$5 r^{2} + (- 2 + 25) r - 10 = 0$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 r^{2} - 2 r + 25 r - 10 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 r^{2} - 2 r) + 25 r - 10 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$r (5 r - 2) + 5 (5 r - 2) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 r - 2$ .

$(5 r - 2) (r + 5) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Étape 2.3

Définissez $5 r - 2$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $5 r - 2$ égal à $0$ .

$5 r - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $5 r - 2 = 0$ pour $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$5 r = 2$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 r = 2$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 r = 2$ par $5$ .

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{2}{5}$

Étape 2.4

Définissez $r + 5$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $r + 5$ égal à $0$ .

$r + 5 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 5$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 r - 2) (r + 5) = 0$ vraie.

$r = \frac{2}{5}, - 5$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$9 r^{2} + 43 r - 10 = 0$

Étape 4

Résolvez $r$ .

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Étape 4.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot - 10 = - 90$ et dont la somme est $b = 43$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Factorisez $43$ à partir de $43 r$ .

$9 r^{2} + 43 (r) - 10 = 0$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $43$ comme $- 2$ plus $45$

$9 r^{2} + (- 2 + 45) r - 10 = 0$

Étape 4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 r^{2} - 2 r + 45 r - 10 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 r^{2} - 2 r) + 45 r - 10 = 0$

Étape 4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$r (9 r - 2) + 5 (9 r - 2) = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 r - 2$ .

$(9 r - 2) (r + 5) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Étape 4.3

Définissez $9 r - 2$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $9 r - 2$ égal à $0$ .

$9 r - 2 = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $9 r - 2 = 0$ pour $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$9 r = 2$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $9 r = 2$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 r = 2$ par $9$ .

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Étape 4.3.2.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{2}{9}$

Étape 4.4

Définissez $r + 5$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Définissez $r + 5$ égal à $0$ .

$r + 5 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 5$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 r - 2) (r + 5) = 0$ vraie.

$r = \frac{2}{9}, - 5$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10} = 0$

Étape 6

Résolvez $r$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$45 r^{2} - 23 r + 4 = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $r$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 45$ , $b = - 23$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot 4)}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $- 23$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 180$ par $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $720$ de $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 191$ comme $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (191)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1.1

Élevez $- 23$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

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Étape 6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 180$ par $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.4.1.3

Soustrayez $720$ de $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.4.1.4

Réécrivez $- 191$ comme $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (191)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $2$ par $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Étape 6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1.1

Élevez $- 23$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 180$ par $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.5.1.3

Soustrayez $720$ de $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.5.1.4

Réécrivez $- 191$ comme $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (191)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $2$ par $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Étape 6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$r = \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}, \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$r = - 5, r = \frac{2}{9}, r = \frac{2}{5}$

Étape 8