Trigonométrie Exemples

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cot (x)$ et $b = 1$ .

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\cot (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.3

Associez $\cot (2 x)$ et $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $\cot (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.4

Développez $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.5.1.1

Multipliez $- \cot (x) \cot (x)$ .

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Étape 2.5.5.1.1.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.1.1.2

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.1.2

Multipliez $- \cot (x) \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.5.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.1.2.2

Multipliez $\cot (x)$ par $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.1.3

Réécrivez $- 1 \cot (x)$ comme $- \cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.2

Soustrayez $\cot (x)$ de $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 2.5.5.3

Additionnez $- \cot^{2} (x)$ et $0$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \cot (x) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 \cot (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $2 \cot (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $\cot (x)$ par $1$ .

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 4.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 4.5.2

Associez les fractions.

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Étape 4.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 4.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 4.5.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 4.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\cot (2 x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 x = π n$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π n$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π n}{2}$

Étape 7

Définissez l’argument dans $\cot (x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 9