Trigonométrie Exemples

$P (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$

Étape 1

Regroupez les termes.

$P (x) = - 2 x^{3} + 98 x + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} + 98 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$P (x) = - 2 x \cdot x^{2} + 98 x + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $98 x$ .

$P (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 49 + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 49)$ .

$P (x) = - 2 x (x^{2} - 49) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 3

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x^{2} - 7^{2}) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$P (x) = - 2 x ((x + 7) (x - 7)) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + {(x^{2})}^{2} - 48 x^{2} - 49$

Étape 6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + u^{2} - 48 u - 49$

Étape 7

Factorisez $u^{2} - 48 u - 49$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 49$ et dont la somme est $- 48$ .

$- 49, 1$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (u - 49) (u + 1)$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x^{2} - 49) (x^{2} + 1)$

Étape 9

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x^{2} - 7^{2}) (x^{2} + 1)$

Étape 10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$

Étape 11

Factorisez $(x + 7) (x - 7)$ à partir de $- 2 x (x + 7) (x - 7) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 11.1

Factorisez $(x + 7) (x - 7)$ à partir de $- 2 x (x + 7) (x - 7)$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 x) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$

Étape 11.2

Factorisez $(x + 7) (x - 7)$ à partir de $(x + 7) (x - 7) (- 2 x) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 x + x^{2} + 1)$

Étape 12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 u + u^{2} + 1)$

Étape 13

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 13.1

Réorganisez les termes.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 u + 1)$

Étape 13.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Étape 13.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 13.4

Réécrivez le polynôme.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 13.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) {(u - 1)}^{2}$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) {(x - 1)}^{2}$