Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ par $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ par $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.4

Multipliez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.6

Multipliez $- \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Étape 5.6.1

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.6.2

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - {\cos (2 x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Étape 5.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos^{2} (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$