Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} - \cos^{2} (15) - \sqrt{3} \sin^{2} (15)$

Étape 1

Déplacez $- \sqrt{3} \sin^{2} (15)$ .

$\sqrt{3} - \sqrt{3} \sin^{2} (15) - \cos^{2} (15)$

Étape 2

Multipliez par $1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} \sin^{2} (15) - \cos^{2} (15)$

Étape 3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.1

Factorisez $\sqrt{3}$ à partir de $- \sqrt{3} \sin^{2} (15)$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- 1 \sin^{2} (15)) - \cos^{2} (15)$

Étape 3.2

Factorisez $\sqrt{3}$ à partir de $\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- 1 \sin^{2} (15))$ .

$\sqrt{3} \cdot (1 - 1 \sin^{2} (15)) - \cos^{2} (15)$

Étape 3.3

Réécrivez $- 1 \sin^{2} (15)$ comme $- \sin^{2} (15)$ .

$\sqrt{3} \cdot (1 - \sin^{2} (15)) - \cos^{2} (15)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (15) - \cos^{2} (15)$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 5.1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (45 - 30) - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.2

Séparez la négation.

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (45 - (30)) - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{3} \cdot {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.4

Réécrivez ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.5

Développez $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.1.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.10

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.11

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.1.6.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.14

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.15

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.1.16

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{3} \cdot \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.6.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.7

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.7.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\sqrt{3} \cdot \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} \cdot \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \cos^{2} (15)$

$\frac{\sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.11.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.11.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.11.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \cos^{2} (15)$

Étape 5.1.12

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 5.1.12.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \cos^{2} (45 - 30)$

Étape 5.1.12.2

Séparez la négation.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \cos^{2} (45 - (30))$

Étape 5.1.12.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2}$

Étape 5.1.12.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2}$

Étape 5.1.12.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2}$

Étape 5.1.12.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2}$

Étape 5.1.12.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.1.12.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.12.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.12.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.1.12.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.1.12.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.1.12.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.1.12.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 5.1.12.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.12.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Étape 5.1.12.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Étape 5.1.12.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Étape 5.1.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.1.14

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Étape 5.1.15

Réécrivez ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 5.1.16

Développez $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 5.1.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Étape 5.1.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.17.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.1.17.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.10

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.11

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.1.17.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16}$

Étape 5.1.17.1.14

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16}$

Étape 5.1.17.1.15

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16}$

Étape 5.1.17.1.16

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Étape 5.1.17.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 5.1.17.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 5.1.18

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 5.1.18.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 5.1.18.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Étape 5.1.18.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Étape 5.1.18.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.18.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Étape 5.1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 5.1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3 - (2 + \sqrt{3})}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3} + 3 - 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 - 2 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$0.68301270 \dots$