Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc^{2} (- x) - 1}{1 - \cos^{2} (- x)}$

Étape 1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cot^{2} (- x)}{1 - \cos^{2} (- x)}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cot^{2} (- x)}{\sin^{2} (- x)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{\cot^{2} (- x)}{\sin^{2} (- x)}$ comme ${(\frac{\cot (- x)}{\sin (- x)})}^{2}$ .

${(\frac{\cot (- x)}{\sin (- x)})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Comme $\cot (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\cot (- x)$ comme $- \cot (x)$ .

${(\frac{- \cot (x)}{\sin (- x)})}^{2}$

Étape 4.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (- x)})}^{2}$

Étape 5

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

${(\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \sin (x)})}^{2}$

Étape 6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

${(\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 8

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)})}^{2}$

Étape 8.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)})}^{2}$

Étape 8.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)})}^{2}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}})}^{2}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})}^{2}$

Étape 9

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Étape 10

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

Étape 11

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)}$

Étape 12

Factorisez $\sin^{2} (x)$ à partir de $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 13

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 14

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ à $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot^{2} (x)$

Étape 15

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cot^{2} (x)$

Étape 16

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cot^{2} (x)$

Étape 17

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\csc^{2} (x) \cot^{2} (x)$