Trigonométrie Exemples

$\frac{z - i}{z - 2} = \frac{3 i + 1}{2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{3 i + 1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{z - i}{z - 2} - \frac{3 i + 1}{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{z - i}{z - 2} - \frac{3 i + 1}{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Divisez la fraction $\frac{3 i + 1}{2}$ en deux fractions.

$\frac{z - i}{z - 2} - (\frac{3 i}{2} + \frac{1}{2}) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z - i}{z - 2} - \frac{3 i}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{z - i}{z - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{z - i}{z - 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 i}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{3 i}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z - i}{z - 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{z - 2}{z - 2} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(z - 2) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{z - i}{z - 2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(z - i) \cdot 2}{(z - 2) \cdot 2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{z - 2}{z - 2} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{3 i}{2}$ par $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{(z - i) \cdot 2}{(z - 2) \cdot 2} - \frac{3 i (z - 2)}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(z - 2) \cdot 2$ .

$\frac{(z - i) \cdot 2}{2 (z - 2)} - \frac{3 i (z - 2)}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(z - i) \cdot 2 - 3 i (z - 2)}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z \cdot 2 - i \cdot 2 - 3 i (z - 2)}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $z$ .

$\frac{2 \cdot z - i \cdot 2 - 3 i (z - 2)}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cdot z - 2 i - 3 i (z - 2)}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 z - 2 i - 3 i z - 3 i \cdot - 2}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{2 z - 2 i - 3 i z + 6 i}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6.6

Additionnez $- 2 i$ et $6 i$ .

$\frac{2 z - 3 i z + 4 i}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 i z + 2 z + 4 i}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{- 3 i z + 2 z + 4 i}{2 (z - 2)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{z - 2}{z - 2} = 0$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{- 3 i z + 2 z + 4 i}{2 (z - 2)} - \frac{z - 2}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 i z + 2 z + 4 i - (z - 2)}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 i z + 2 z + 4 i - z - - 2}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 3 i z + 2 z + 4 i - z + 2}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.10.3

Soustrayez $z$ de $2 z$ .

$\frac{- 3 i z + z + 4 i + 2}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 i z + z + 2 + 4 i}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i z$ .

$\frac{- (3 i z) + z + 2 + 4 i}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $z$ .

$\frac{- (3 i z) - 1 (- z) + 2 + 4 i}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 i z) - 1 (- z)$ .

$\frac{- (3 i z - z) + 2 + 4 i}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.14

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (3 i z - z) - 1 (- 2) + 4 i}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 i z - z) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (3 i z - z - 2) + 4 i}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.16

Factorisez $- 1$ à partir de $4 i$ .

$\frac{- (3 i z - z - 2) - (- 4 i)}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 i z - z - 2) - (- 4 i)$ .

$\frac{- (3 i z - z - 2 - 4 i)}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.18

Réécrivez $- (3 i z - z - 2 - 4 i)$ comme $- 1 (3 i z - z - 2 - 4 i)$ .

$\frac{- 1 (3 i z - z - 2 - 4 i)}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 i z - z - 2 - 4 i}{2 (z - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 i z - z - 2 - 4 i}{2 (z - 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 (z - 2) = 0$

Étape 4

Résolvez $z$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 (z - 2) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (z - 2) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (z - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (z - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $z - 2$ par $1$ .

$z - 2 = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$z - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 2$

Étape 5