Trigonométrie Exemples

${(3 + 4 i)}^{2} - 2 (x - y i) = x + y i$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(3 + 4 i)}^{2} - 2 x - 2 (- y i) = x + y i$

Étape 1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

${(3 + 4 i)}^{2} - 2 x + 2 y i = x + y i$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $y i$ des deux côtés de l’équation.

${(3 + 4 i)}^{2} - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez ${(3 + 4 i)}^{2}$ comme $(3 + 4 i) (3 + 4 i)$ .

$(3 + 4 i) (3 + 4 i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.2

Développez $(3 + 4 i) (3 + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (3 + 4 i) + 4 i (3 + 4 i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 4 i (3 + 4 i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 + 3 (4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$9 + 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$9 + 12 i + 12 i + 4 i (4 i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.4

Multipliez $4 i (4 i)$ .

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Étape 1.2.2.3.1.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$9 + 12 i + 12 i + 16 i i - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$9 + 12 i + 12 i + 16 (i^{1} i) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$9 + 12 i + 12 i + 16 (i^{1} i^{1}) - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 + 12 i + 12 i + 16 i^{1 + 1} - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 + 12 i + 12 i + 16 i^{2} - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 + 12 i + 12 i + 16 \cdot - 1 - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.1.6

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$9 + 12 i + 12 i - 16 - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.2

Soustrayez $16$ de $9$ .

$- 7 + 12 i + 12 i - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.2.3.3

Additionnez $12 i$ et $12 i$ .

$- 7 + 24 i - 2 x + 2 y i - y i = x$

Étape 1.2.3

Soustrayez $y i$ de $2 y i$ .

$- 7 + 24 i - 2 x + 1 y i = x$

Étape 1.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 7 + 24 i - 2 x + y i = x$

Étape 1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$24 i - 2 x + y i = x + 7$

Étape 1.3.2

Soustrayez $24 i$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x + y i = x + 7 - 24 i$

Étape 1.3.3

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y i = x + 7 - 24 i + 2 x$

Étape 1.3.4

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$y i = 3 x + 7 - 24 i$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $y i = 3 x + 7 - 24 i$ par $i$ et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Divisez chaque terme dans $y i = 3 x + 7 - 24 i$ par $i$ .

$\frac{y i}{i} = \frac{3 x}{i} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y i}{i} = \frac{3 x}{i} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 x}{i} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 x}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$y = \frac{3 x}{i} \cdot \frac{i}{i} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.2

Multipliez.

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Étape 1.4.3.1.2.1

Associez.

$y = \frac{3 x i}{i i} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.3.1.2.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{3 x i}{i^{1} i} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.2.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{3 x i}{i^{1} i^{1}} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{3 x i}{i^{1 + 1}} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{3 x i}{i^{2}} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.2.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{3 x i}{- 1} + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 x i}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (3 x i) + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (3 x i)$ comme $- (3 x i)$ .

$y = - (3 x i) + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = - 3 (x i) + \frac{7}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.6

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{7}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$y = - 3 x i + \frac{7}{i} \cdot \frac{i}{i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.7

Multipliez.

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Étape 1.4.3.1.7.1

Associez.

$y = - 3 x i + \frac{7 i}{i i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.3.1.7.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - 3 x i + \frac{7 i}{i^{1} i} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.7.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - 3 x i + \frac{7 i}{i^{1} i^{1}} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.7.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - 3 x i + \frac{7 i}{i^{1 + 1}} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.7.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - 3 x i + \frac{7 i}{i^{2}} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.7.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - 3 x i + \frac{7 i}{- 1} + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.8

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{7 i}{- 1}$ .

$y = - 3 x i - 1 \cdot (7 i) + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.9

Réécrivez $- 1 \cdot (7 i)$ comme $- (7 i)$ .

$y = - 3 x i - (7 i) + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.10

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$y = - 3 x i - 7 i + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.11

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 1.4.3.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$y = - 3 x i - 7 i + \frac{- 24 i}{i}$

Étape 1.4.3.1.11.2

Divisez $- 24$ par $1$ .

$y = - 3 x i - 7 i - 24$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.