Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = {(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$

Étape 1

Soustrayez ${(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - {(\sec (x) - \tan (x))}^{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - {(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}^{2} = 0$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez ${(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ comme $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - ((\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.3

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.1.4.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.3

Multipliez $- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.1.4.1.3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.3.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.4

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.1.4.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) = 0$

Étape 2.1.4.1.5

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Étape 2.1.4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) = 0$

Étape 2.1.4.1.5.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) = 0$

Étape 2.1.4.2

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ de $- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.1

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) = 0$

Étape 2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) = 0$

Étape 2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} - - \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.1.7

Multipliez $- - \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Étape 2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \sin (x)) \cos^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos^{2} (x)}{(1 + \sin (x)) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos^{2} (x)}{(1 + \sin (x)) \cos^{2} (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sin (x)) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos^{2} (x) - (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cos^{2} (x) - \sin (x) \cos^{2} (x) - (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos^{2} (x) - (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 - \sin (x)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos^{2} (x) - 1 - \sin (x)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5

Réécrivez $\cos^{2} (x) - \sin (x) \cos^{2} (x) - 1 - \sin (x)$ en forme factorisée.

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Étape 2.6.1.5.1

Regroupez les termes.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) - (\sin (x) \cos^{2} (x)) - 1}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.3

Laissez $u = \sin (x) \cos^{2} (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x) \cos^{2} (x)$ par $u$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - u}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x) - u$ .

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Étape 2.6.1.5.4.1

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $- u$ .

$\frac{- \sin (x) - u - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$\frac{- \sin (x) - (u) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (u) - (\sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u) - (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) - (u + \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.6

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.6.1.5.6.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin (x) (\cos^{2} (x)) + \sin^{2} (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.6.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin (x) (\cos^{2} (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.6.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (\cos^{2} (x)) + \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin (x) (\cos^{2} (x) + \sin (x)))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) (\cos^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.7

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) - \sin (x) (\cos^{2} (x) + \sin (x))$ .

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Étape 2.6.1.5.7.1

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.1.5.7.2

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos^{2} (x) + \sin (x))$ .

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sin (x) (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} + \frac{2 \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x)) + 2 \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x)) + 2 \sin (x) (1 + \sin (x))$ .

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Étape 2.10.1.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))) + 2 \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))) + \sin (x) (2 (1 + \sin (x)))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.1.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (- 1 (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x))) + \sin (x) (2 (1 + \sin (x)))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos^{2} (x) + \sin (x)) + 2 (1 + \sin (x)))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 \cos^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 (1 + \sin (x)))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.3

Simplifiez

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Étape 2.10.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 - 1 \cos^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 (1 + \sin (x)))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cos^{2} (x)$ comme $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 - \cos^{2} (x) - 1 \sin (x) + 2 (1 + \sin (x)))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.3.3

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 - \cos^{2} (x) - \sin (x) + 2 (1 + \sin (x)))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (- 1 - \cos^{2} (x) - \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 - \cos^{2} (x) - \sin (x) + 2 + 2 \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.6

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \cos^{2} (x) - \sin (x) + 2 \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.7

Additionnez $- \sin (x)$ et $2 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \cos^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.9

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

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Étape 2.10.1.9.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) \sin (x) + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.9.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.9.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) (\sin (x) + 1))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

$\frac{\sin (x) \sin (x) (\sin (x) + 1)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.10

Associez les exposants.

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Étape 2.10.1.10.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) (\sin (x) + 1)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.10.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) (\sin (x) + 1)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} (\sin (x) + 1)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.1.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\sin (x) + 1)}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.2

Annulez le facteur commun à $\sin (x) + 1$ et $1 + \sin (x)$ .

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Étape 2.10.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.11

Soustrayez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$0 = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.