Trigonométrie Exemples

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} = \cos^{4} (w)$

Étape 1

Soustrayez $\cos^{4} (w)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $\cot (w)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{- 1 + {(\frac{\cos (w)}{\sin (w)})}^{2} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (w)}{\sin (w)}$ .

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.3

Réécrivez $\tan (w)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) {(\frac{\sin (w)}{\cos (w)})}^{2}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (w)}{\cos (w)}$ .

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (w)$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \sin^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.6

Déplacez $\sin^{2} (w)$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (w)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.10

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (w))$ comme $- (1 - \sin^{2} (w))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.11

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.12

Factorisez $\cos^{2} (w)$ à partir de $- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ .

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Étape 2.1.1.12.1

Factorisez $\cos^{2} (w)$ à partir de $- \cos^{2} (w)$ .

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.12.2

Factorisez $\cos^{2} (w)$ à partir de $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.12.3

Factorisez $\cos^{2} (w)$ à partir de $\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.13

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.14

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.15

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.16

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) ({(\frac{1}{\sin (w)})}^{2} - 1^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.1.17

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{\sin (w)}$ et $b = 1$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\csc (w)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{{(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$(\cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.5

Associez $\cos^{2} (w)$ et $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\cos^{2} (w)$ par $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.7

Développez $(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} (\frac{1}{\sin (w)} - 1) + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.1.1

Associez.

$(\frac{\cos^{2} (w) \cdot 1}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.2

Multipliez $\cos^{2} (w)$ par $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.8.1.3.1

Élevez $\sin (w)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.3.2

Élevez $\sin (w)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin^{1} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{{\sin (w)}^{1 + 1}} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.4

Associez $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ et $- 1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{- 1 \cdot \cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.7

Associez $\cos^{2} (w)$ et $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - 1 \cdot \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.1.9

Réécrivez $- 1 \cos^{2} (w)$ comme $- \cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.2

Additionnez $- \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ et $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + 0 - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.8.3

Additionnez $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ et $0$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.10

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (w)$ .

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Étape 2.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.11

Multipliez par $1$ .

$\cos^{2} (w) \cdot 1 - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.12

Factorisez $\cos^{2} (w)$ à partir de $- \cos^{2} (w) \sin^{2} (w)$ .

$\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez $\cos^{2} (w)$ à partir de $\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w))$ .

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.14

Réécrivez $- 1 \sin^{2} (w)$ comme $- \sin^{2} (w)$ .

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.15

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (w) \cdot \cos^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.16

Multipliez $\cos^{2} (w)$ par $\cos^{2} (w)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.16.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (w)}^{2 + 2} - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.1.16.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\cos^{4} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $\cos^{4} (w)$ de $\cos^{4} (w)$ .

$0 = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.