Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x)}{1 + \tan (x)} = \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\tan (x)}{1 + \tan (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\tan (x)}{1 + \tan (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 + \tan (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} \cdot \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} \cdot \frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ par $\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$ par $\frac{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} - \frac{\sin (x) (\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} - \frac{\sin (x) (\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) - \sin (x) (\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) \cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \sin (x) (- \cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \sin (x) (- \cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x) - \cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + \cos (x) - \cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.5

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (0 + \cos (x) - \cos (x))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.6

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \cos (x))}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.6.7

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 0}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.7

Multipliez $\sin (x)$ par $0$ .

$\frac{0}{\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))} = 0$

Étape 2.8

Divisez $0$ par $\cos (x) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$0 = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.