Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) \cdot 1 + (\cos (x))$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\csc (x) \cdot 1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \csc (x) \cdot 1 = \cos (x)$

Étape 1.2

Soustrayez $\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \csc (x) \cdot 1 - \cos (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \csc (x) \cdot 1 - \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 - \cos (x) = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{1}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \cos (x) = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \cos (x) = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.6.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $- - \cos (x)$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.5

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.9

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.11

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ .

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Étape 2.6.1.11.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.11.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.1.11.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun à $- \cos (x) + 1$ et $1 - \cos (x)$ .

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Étape 2.6.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) = 0$

Étape 2.7

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cot (x) - \cos (x) = 0$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\cot (x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 5