Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\sec^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \sec^{2} (x) = - 2 \tan^{2} (x)$

Étape 1.2

Ajoutez $2 \tan^{2} (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \sec^{2} (x) + 2 \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \sec^{2} (x) + 2 \tan^{2} (x)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 0$

Étape 2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.1.6

Associez $2$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.4

Écrivez $\cos (2 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (2 x) \sec (x)) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) (\cos (2 x) \sec (x)) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.7

Multipliez $\sec (x) (\cos (2 x) \sec (x))$ .

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Étape 2.2.7.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \cos (2 x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.7.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \cos (2 x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{1 + 1} \cos (2 x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.8

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.9

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.11

Multipliez par $1$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.12

Multipliez par $1$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cdot 1} = 0$

Étape 2.2.13

Séparez les fractions.

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{2 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 0$

Étape 2.2.14

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{2 \cdot (1)}{1} \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + \frac{2}{1} \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.16

Divisez $2$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) \cos (2 x) - \sec^{2} (x) + 2 \tan^{2} (x) = 0$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\sec (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 5