Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) + 9 \tan (x) + 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 9 (u) + 1 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 9$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $4$ de $81$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$

$\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$ .

$x = - 0.11204654$

Étape 8.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 0.11204654 - (3.14159265)$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.11204654 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.11204654 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de $3.0295461$ est positif et coterminal avec $- 0.11204654 - (3.14159265)$ .

$x = 3.0295461$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez $π$ à $- 0.11204654$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.11204654 + π$

Étape 8.6.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 0.11204654$

Étape 8.6.3

Soustrayez $0.11204654$ de $3.14159265$ .

$3.0295461$

Étape 8.6.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 3.0295461$

Étape 8.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$ .

$x = - 1.45874978$

Étape 9.3

$x = - 1.45874978 - (3.14159265)$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.45874978 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.45874978 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 9.4.2

L’angle résultant de $1.68284287$ est positif et coterminal avec $- 1.45874978 - (3.14159265)$ .

$x = 1.68284287$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 9.6.1

Ajoutez $π$ à $- 1.45874978$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.45874978 + π$

Étape 9.6.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.45874978$

Étape 9.6.3

Soustrayez $1.45874978$ de $3.14159265$ .

$1.68284287$

Étape 9.6.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 1.68284287$

Étape 9.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les solutions.

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Étape 11.1

Consolidez $3.0295461 + π n$ et $3.0295461 + π n$ en $3.0295461 + π n$ .

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.2

Consolidez $1.68284287 + π n$ et $1.68284287 + π n$ en $1.68284287 + π n$ .

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n$ , pour tout entier $n$